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| Aufgabe | [mm] f(x)=10/(x-6)^2 [/mm] D=[7,8]
i) man zeige, dass f im obigen Intervall D einen Fixpunkt besitzt.
ii)kann ein Fixpunkt in D über die Fixpunktiteration [mm] x_{k+1}=f(x_k) [/mm] für k=0,1,2 mit [mm] x_0\in [/mm] D berechnet werden? |
Hallo
Habe ein paar Probleme mit obiger Klausuraufgabe.
Wollte sie eigentlich ganz normal über Banachschen Fixpunktsatz lösen...
Grundsätzliche Frage: Ist bei solch einer Aufgabestellung f(x) schon die Funktion, welche die Fixpunktgleichung f(x*)=x* erfüllt? Mich "stört", dass bei der Teilaufgabe ii) die Fixpunktiteration auch mit f(x) steht. Oder muss ich diese noch bilden als beispielsweise g(x)=f(x)+x=x ? Mir ist glaub ich graphisch noch nicht ganz klar was die Addition einer Funktion mit x bei der Iteration eigentlich bewirkt.
Naja, ich wollte jedenfalls ganz normal die Vorraussetzungen für die Existenz eine Fixpunktes abarbeiten - 1. Problem: Funktion ist nicht selbstabbildend auf dem Intervall. Trotzdem sagt mir mein Gefühl dass es irgendwo einen Fixpunkt gibt auf dem Intervall, da F(7)>D und f(8)<D ist. Ich habe allerdings keine Ahnung wie ist das beweisen soll. ZWS?
zu ii) bin ich der Meinung das es nicht geht.
Danke im Voraus!
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> [mm]f(x)=10/(x-6)^2[/mm] D=[7,8]
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> i) man zeige, dass f im obigen Intervall D einen Fixpunkt
> besitzt.
> ii)kann ein Fixpunkt in D über die Fixpunktiteration
> [mm]x_{k+1}=f(x_k)[/mm] für k=0,1,2 mit [mm]x_0\in[/mm] D berechnet werden?
> Grundsätzliche Frage: Ist bei solch einer Aufgabestellung
> f(x) schon die Funktion, welche die Fixpunktgleichung
> f(x*)=x* erfüllt? Mich "stört", dass bei der Teilaufgabe
> ii) die Fixpunktiteration auch mit f(x) steht. Oder muss
> ich diese noch bilden als beispielsweise g(x)=f(x)+x=x ?
> Mir ist glaub ich graphisch noch nicht ganz klar was die
> Addition einer Funktion mit x bei der Iteration eigentlich
> bewirkt.
> Naja, ich wollte jedenfalls ganz normal die
> Vorraussetzungen für die Existenz eine Fixpunktes
> abarbeiten - 1. Problem: Funktion ist nicht selbstabbildend
> auf dem Intervall. Trotzdem sagt mir mein Gefühl dass es
> irgendwo einen Fixpunkt gibt auf dem Intervall, da F(7)>D
> und f(8)<D ist. Ich habe allerdings keine Ahnung wie ist
> das beweisen soll.
> zu ii) bin ich der Meinung das es nicht geht.
>
> Danke im Voraus!
Hallo Ilka,
i) Um zu zeigen, dass es in D einen Fixpunkt geben muss,
genügt es, zu zeigen:
1.) Die Funktion h(x)=f(x)- x ist in D stetig
2.) h(7) und h(8) haben verschiedene Vorzeichen
(Zwischenwertsatz)
ii) Die zu prüfende Fixpunktiteration ist in der Aufgabe
vorgegeben. Um herauszufinden, ob sie gegen die
gesuchte Lösung in D konvergiert, genügt es, die
Ableitung f'(x) im Intervall D zu betrachten.
Für Konvergenz wäre nötig, dass [mm]\ |f'(x^{\*} )|\le 1[/mm] ist.
Obwohl diese Iteration tatsächlich nicht zum
Fixpunkt konvergiert, wäre es möglich, eine andere
Funktion F zu konstruieren, welche nachweislich denselben
Fixpunkt [mm]\ x^{\*} \in D[/mm] besitzt und für welche die Iteration
[mm]x_{k+1}=F(x_k)[/mm] für k=0,1,2,... mit [mm]x_0\in[/mm] D
gegen [mm] x^{\*} [/mm] konvergiert.
LG
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> Obwohl diese Iteration tatsächlich nicht zum
> Fixpunkt konvergiert, wäre es möglich, eine andere
> Funktion F zu konstruieren, welche nachweislich
> denselben
> Fixpunkt [mm]\ x^{\*} \in D[/mm] besitzt und für welche die
> Iteration
> [mm]x_{k+1}=F(x_k)[/mm] für k=0,1,2,... mit [mm]x_0\in[/mm] D
> gegen [mm]x^{\*}[/mm] konvergiert.
Für eine solche Ersatzfunktion F kann man z.B. eine
Funktion der Form
[mm]\ F(x)=A*f(x)+(1-A)*x[/mm] (mit [mm] A\not= [/mm] 0)
nehmen.
Man kann leicht zeigen, dass [mm] F(x^{\*})=x^{\*} \gdw f(x^{\*})=x^{\*} [/mm]
Den Parameter A [mm] (\not= [/mm] 0) muss man nun geeignet festlegen.
Im vorliegenden Beispiel würde z.B. [mm] A=\bruch{1}{20}=0.05
[/mm]
passen und zu einer Funktion F führen, deren Iteration mit
einem Startwert [mm] x_0 \in [/mm] D zum Fixpunkt [mm] x^{\*} [/mm] konvergiert.
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