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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Sa 24.01.2009 | | Autor: | Sina.S |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm] (x,y)^T [/mm] = [mm] \Phi(x,y) [/mm] mit
[mm] \Phi(x,y) [/mm] = [mm] \vektor{1/6 * (x-1)^2*y^2+1/2\\ 1/8*x^2*y^4+1/2}
[/mm]
genau eine Lösung [mm] (\hat x,\hat y)^T [/mm] in [mm] [0,1]^2 [/mm] hat. Führen Sie einen Schritt der Fixpunktiteration mit Startwert [mm] (x_0,y_0)^T [/mm] durch und schätzen Sie den Fehler von [mm] (x_1,y_1)^T [/mm] in der Maximumnorm [mm] ||.||_\infty [/mm] ab. Wie groß ist der Fehler [mm] ||(\hat x,\hat y)^T [/mm] - [mm] (x_4,y_4)^T||_\infty [/mm] höchstens? |
Hallo,
ich hänge seit Stunden vor dieser Mammutaufgabe und sehe kein Land. Habe Newton darauf losgelassen, Normen gebildet und mich vergeblich durch angebliche Fixpunktiterationen gekämpft.
Den Part mit der einen Lösung [mm] (\hat x,\hat y)^T [/mm] in [mm] [0,1]^2 [/mm] würde ich mit Abschätzungen zeigen - komme aber auch dort auf keinen grünen Zweig und verhedder mich immer wieder.
Wie setze ich hier an - und besonders: Wie führe ich den Schritt der Fixpunktiteration durch? Ich habe bis jetzt nur Iterationen mit einer Variablen kennengelernt.
Ich schätze einmal, dass ich hier Banach anwenden muss, werde aber aus der Banch'schen Fixpunktiteration aber nicht schlau - verstehe sie also nicht - und weiß nicht, wie ich diese hier anwenden soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Di 27.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm](x,y)^T[/mm] = [mm]\Phi(x,y)[/mm] mit
> [mm]\Phi(x,y)[/mm] = [mm]\vektor{1/6 * (x-1)^2*y^2+1/2\\ 1/8*x^2*y^4+1/2}[/mm]
>
> genau eine Lösung [mm](\hat x,\hat y)^T[/mm] in [mm][0,1]^2[/mm] hat. Führen
> Sie einen Schritt der Fixpunktiteration mit Startwert
> [mm](x_0,y_0)^T[/mm] durch und schätzen Sie den Fehler von
> [mm](x_1,y_1)^T[/mm] in der Maximumnorm [mm]||.||_\infty[/mm] ab. Wie groß
> ist der Fehler [mm]||(\hat x,\hat y)^T[/mm] - [mm](x_4,y_4)^T||_\infty[/mm]
> höchstens?
> Hallo,
>
> ich hänge seit Stunden vor dieser Mammutaufgabe und sehe
> kein Land. Habe Newton darauf losgelassen, Normen gebildet
> und mich vergeblich durch angebliche Fixpunktiterationen
> gekämpft.
>
> Den Part mit der einen Lösung [mm](\hat x,\hat y)^T[/mm] in [mm][0,1]^2[/mm]
> würde ich mit Abschätzungen zeigen - komme aber auch dort
> auf keinen grünen Zweig und verhedder mich immer wieder.
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> Wie setze ich hier an - und besonders: Wie führe ich den
> Schritt der Fixpunktiteration durch? Ich habe bis jetzt nur
> Iterationen mit einer Variablen kennengelernt.
>
> Ich schätze einmal, dass ich hier Banach anwenden muss,
> werde aber aus der Banch'schen Fixpunktiteration aber nicht
> schlau - verstehe sie also nicht - und weiß nicht, wie ich
> diese hier anwenden soll.
Der Banachsche Fixpunktsatz ist ein guter Ansatz. Du musst dafür ja erst einmal nachweisen, dass [mm] $\Phi$ [/mm] eine Kontraktion ist. In der Aufgabe ist die Maximumsnorm genannt. Dann musst du zeigen, dass es ein $q <1 $ gibt, sodass
[mm]\|\Phi(x_1,y_1)-\Phi(x_2,y_2)\|_{\infty} \le q \|(x_1-x_2,y_1-y_2)^T\|_{\infty} [/mm]
Was ist denn [mm] $\|(x_1-x_2,y_1-y_2)^T\|_\infty$ [/mm] für das gegebene Quadrat [mm] $[0,1]^2$?
[/mm]
Tipp zur Berechnung:
[mm] \|\Phi(x_1,y_1)-\Phi(x_2,y_2)\|_{\infty} = \max \{|1/6 * (x_1-1)^2*y_1^2-1/6* (x_2-1)^2*y_2^2|, |1/8*x_1^2*y_1^4 - 1/8*x_2^2*y_2^4| \}[/mm]
[mm] = \max \{1/6 * |(x_1-1)^2*y_1^2 -(x_2-1)^2*y_2^2|,1/8*|x_1^2*y_1^4-x_2^2*y_2^4|\} [/mm].
Da [mm] $0\le(x_1-1)^2*y_1^2\le1$ [/mm] und [mm] $0\le x_1^2*y_1^4\le1$ [/mm] ist (ebenso für [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $y_2$), [/mm] müssen die beiden Beträge auch zwischen 0 und 1 liegen. Also ist die rechte Seite [mm] $\le \bruch{1}{6}$ [/mm] ist.
Was kannst du also für q ausrechnen?
Zur Fixpunktiteration: für den Fixpunkt gilt, dass [mm] $(\hat x,\hat y)^T=\Phi(\hat x,\hat [/mm] y)$. Also ist
[mm] \|(\hat x,\hat y)^T - (\hat x_k,\hat y_k)^T \|_{\infty} \le q * \|(\hat x,\hat y)^T - (\hat x_{k-1},\hat y_{k-1})^T \|_{\infty} [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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