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| Aufgabe | Eine Fixpunktiteration $ x^(^t^+^1^) [mm] =f(x^t)) [/mm] $ sei def. durch
$ [mm] f(x)=1+\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x^2}, [/mm] x>0. $
a) Verifizieren Sie für f:[1.75,2] [mm] ->\IR [/mm] die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes. Wie groß ist die Kontraktionskonstante q?
b) Ich soll nun mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes für $ x^(^0^) =1.8 $ eine Fehlerschranke für $ [mm] \left| (x^(^2^0^) - z) \right| [/mm] $ angeben. Auf wieviele Stellen hinter dem Dezimalpunkt ist $ [mm] x^{^2^0^} [/mm] $ korrekt? |
Hallo,
zu a)
$ f´(x) = [mm] -\bruch{1}{x^2}-\bruch{2x}{(x^2)^2} \Rightarrow \left| f´(x) \right| \le \bruch{1}{(1,75)^2}+2*\bruch{1,75}{(1,75^2)^2} [/mm] = 0,699708455 := q < 1 $
wäre das richtig?
zu b)
da t = 20, folgt:
$ [mm] \bruch{0,699708455^2^0}{(1-0,699708455)}* [/mm] 0,064197531 [mm] \le [/mm] 10^(^-^k^) $ [mm] \gdw [/mm] $ [mm] 10^k \le [/mm] 5911.291063 $ [mm] \gdw [/mm] $ k [mm] \le \bruch{ln(5911.291063)}{ln(10)} [/mm] $ [mm] \approx\ [/mm] 3.771682342
=> k=3
also kann ich sagen, dass $ [mm] x^2^0 [/mm] $ auf k=3 nachkommastellen korrekt ist?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Mo 20.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Eine Fixpunktiteration [mm]x^(^t^+^1^) =f(x^t))[/mm] sei def.
> durch
> [mm]f(x)=1+\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x^2}, x>0.[/mm]
>
> a) Verifizieren Sie für f:[1.75,2] [mm]->\IR[/mm] die
> Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes. Wie groß
> ist die Kontraktionskonstante q?
>
> b) Ich soll nun mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes
> für [mm]x^(^0^) =1.8[/mm] eine Fehlerschranke für [mm]\left| (x^(^2^0^) - z) \right|[/mm]
> angeben. Auf wieviele Stellen hinter dem Dezimalpunkt ist
> [mm]x^(^2^0^) [/mm] korrekt?
> Hallo,
>
>
> zu a)
>
> [mm]f´(x) = -\bruch{1}{x^2}-\bruch{2x}{(x^2)^2} \Rightarrow \left| f´(x) \right| \le \bruch{1}{(1,75)^2}+2*\bruch{1,75}{(1,75^2)^2} = 0,699708455 := q < 1[/mm]
>
> wäre das richtig?
Das stimmt. Aber zu den Vor. des Fixpunktsatzes gehört noch
f([1.75,2]) [mm] \subseteq [/mm] [1.75,2].
>
> zu b)
> da t = 20, folgt:
>
> [mm]\bruch{0,699708455^2^0}{(1-0,699708455)}* 0,064197531 \le 10^(^-^k^)[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]10^k \le 5911.291063[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]k \le \bruch{ln(5911.291063)}{ln(10)}[/mm]
> [mm]\approx\[/mm] 3.771682342
>
> => k=3
>
> also kann ich sagen, dass [mm]x^2^0[/mm] auf k=3 nachkommastellen
> korrekt ist?
Ja
FRED
>
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Mo 20.10.2014 | | Autor: | Striker_03 |
Ok danke.
LG
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