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| Aufgabe | Wandeln Sie
log(x) = [mm]\sqrt{x}[/mm] − 1
in eine Fixpunktgleichung um und formulieren Sie die entsprechende Fixpunktiteration. Bei xF = 1 liegt ein Fixpunkt. Stellen Sie fest, ob die Fixpunktiteration bei einem Startwert nahe xF konvergiert. |
Hi,
ich habe die Gleichung folgendermaßen in eine Fixpunktgleichung umgewandelt:
[mm] log(x)+1 = \sqrt{x} [/mm]
[mm] (log(x)+1)^2 = x [/mm]
[mm] log(x)^2 + 2*log(x) + 1 = x[/mm]
Wäre das eine korrekte Fixpunktgleichung?
Nun möchte ich gerne noch wissen wie ich weiter machen muss.
Gehe ich nach der Formel
[mm]x_k = f(x_{k-1})[/mm]
vor und setze einen frei gewählten Wert nahe 1 ein? Wäre das die Fixpunktiteration?
freundliche Grüße
Malte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Di 26.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst ja probieren, ob das Verfahren konverfiert oder nicht!
wenn nicht muss du anders umformen . z.B mit der Exponentialfkt.
Kennst du ein Kriterium wann das Verfahren funktioniert? dann wende es zuerst an!
Gruss leduart
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Wenn ich einen Wert nahe 1 einsetze und ein paar Iterationen ausführe, nähert sich der Wert der 1. Damit hätte ich die entsprechende Fixpunktiteration ausgeführt.
Damit hätte ich ja dann auch festgestellt, dass bei einem Startwert nahe 1 die Fixpunktiteration konvergiert.
Ich habe aber noch eine Formel:
Ist [mm]|F'(x)|<1[/mm], so konvergiert [mm]x_n [/mm] gegen den Fixpunkt.
F'(1) ergibt die 2, also dürfte es doch nicht gegen den Fixpunkt konvergieren.
Verstehe ich da jetzt etwas falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Mi 27.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
was hast du denn eingesetzt und was sind deine Ergebnisse? bei mir konvergiert das nicht, den Grund hast du ja auch gefunden.
Gruss leduart
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Ich habe in die Fixpunktgleichung für den Wert x die 0.9 eingesetzt.
Dann kommt raus:
1. 0.910
2. 0.920
3. 0.929
...
25. 0.996
Das ganze scheint also gegen die 1 zu konvergieren. Und das passiert bei jedem anderen Wert auch.
Was mache ich falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mi 27.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich habe log als ln interpretiert, und deshalb andere Ergebnisse
du hast offensichtlich den [mm] log_{10} [/mm] genommen. dann stimmen deine Ergebnisse, aber nicht dein f'(1)
Gruss leduart
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Die Ableitung von der Fixpunktgleichung wäre ja
[mm]\frac{2*log(x)}{x} + \frac{1}{x}[/mm]
Nun habe ich mich zwar bei dem ersten Versuch verrechnet, aber beim zweiten habe ich die 1 als Ergebnis. Also immer noch keine Konvergenz.
Würde ich aber den ln nehmen, dann würde das alles passen. Ohne nähere Hintergründe der Aufgabe zu kennen, kann ich irgendwie feststellen, welcher Logarithmus gemeint ist?
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> Ohne nähere Hintergründe der Aufgabe zu kennen,
> kann ich irgendwie feststellen, welcher Logarithmus gemeint
> ist?
Nein, es ist die Aufgabe des Aufgabenstellers, dafür
zu sorgen, dass die Aufgabe unmissverständlich
gestellt ist.
Du kannst höchstens an den vergangenen Taten
dieser Person (etwa in einem Skript) ablesen,
ob bei ihr das Symbol "log" eher für den natür-
lichen oder den Zehnerlogarithmus steht ...
Meine Kristallkugel zeigt da nur einen verschwommenen
Schimmer ...
Bei dieser Aufgabe sollte dir aber ohnehin klar sein,
dass man die gegebene Gleichung auf verschiedene
Arten (also mit ganz unterschiedlichen Funktionen [mm] f_i)
[/mm]
auf die Form [mm] f_i(x)=x [/mm] bringen kann !
LG,
Al-Chw.
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