Fixpunkte und Lösung des DGL < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 So 04.09.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Ich will die Fixpunkte und Lösung des entkoppelten DLG's für eine konstante Erregung [mm] v_{0} [/mm] bestimmen.
Wie geht man da vor? Habe zu dem Thema keine Information gefunden. |
Die entkoppelten Differetialgleichungnen lauten:
[mm] \dot{E}_{1} [/mm] = [mm] -6E_{1}+\bruch{3}{5}v
[/mm]
[mm] \dot{E}_{2} [/mm] = [mm] -1E_{2}-\bruch{1}{5}v
[/mm]
Wie bestimme ich nun die Fixpunkte der entkoppelten DGLs für eine konstante Erregung [mm] v_{0}?
[/mm]
Wo kann man darüber was nachlesen?
Es soll rauskommen:
[mm] E_{1, \infty} [/mm] = [mm] \bruch{v_{0}}{10}
[/mm]
[mm] E_{2, \infty} [/mm] = [mm] -\bruch{v_{0}}{5}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 So 04.09.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Du musst lediglich die Ableitungen 0 setzen. Somit ändern sich E1 und E2 nicht mehr, was dann einem Fixpunkt entspricht.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Mo 05.09.2011 | | Autor: | zoj |
Super, danke dir!
Jetzt muss ich noch die Lösung der entkoppelten DGLs für eine konstante Erregung [mm] v_{0} [/mm] angeben.
Wie macht man das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Mo 05.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo zoj,
genau das hat Dir doch qsxqsx erklärt, verstanden hast Du es aber augenscheinlich nicht.
Setze die Ableitungen zu Null und so bekommst Du z.B. für die erste Gleichung
[mm] 0 = -6E_1 + \bruch{3}{5} v [/mm] und hieraus bekommst Du für die "Fixpunktgeschwindigkeit" [mm] v_0 [/mm]
[mm] E_{1, \infty} = \bruch{3}{5 \cdot 6 } v_0 = \bruch{v_0}{10} [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Mo 05.09.2011 | | Autor: | zoj |
Wie man auf die Fixpunkte kommt, habe ich verstanden und nachvollzogen.
Ich verstehe nicht, wie man auf die Lösung der entkoppelten DGLs für eine konstante Erregung [mm] v_{0} [/mm] kommt.
Diese sieht in der Musterlösung folgendermaßen aus:
[mm] E_{1}=\bruch{v_{0}}{10}+[E_{01}-\bruch{v_{0}}{10}]exp(-6(t-t_{0}))
[/mm]
[mm] E_{2}=-\bruch{v_{0}}{5}+[E_{02}+\bruch{v_{0}}{5}]exp(-(t-t_{0}))
[/mm]
Anscheinend funktioniert es nach dieser Formel:
[mm] E_{i}=\dot{E_{i}}+[E_{0i}-\dot{E_{i}}]exp(\lambda_{i}(t-t_{0}))
[/mm]
Kann diese Formel im Skript nirgendwo finden.
Jetzt weiß ich nicht, ob ich diese Formel immer verwenden darf, oder ob Außnahmen gibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Mo 05.09.2011 | | Autor: | zoj |
Der letzte Post sollte eine Frage sein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mo 05.09.2011 | | Autor: | zoj |
Wie man auf die Fixpunkte kommt, habe ich verstanden und nachvollzogen.
Ich verstehe nicht, wie man auf die Lösung der entkoppelten DGLs für eine konstante Erregung $ [mm] v_{0} [/mm] $ kommt.
Diese sieht in der Musterlösung folgendermaßen aus:
$ [mm] E_{1}=\bruch{v_{0}}{10}+[E_{01}-\bruch{v_{0}}{10}]exp(-6(t-t_{0})) [/mm] $
$ [mm] E_{2}=-\bruch{v_{0}}{5}+[E_{02}+\bruch{v_{0}}{5}]exp(-(t-t_{0})) [/mm] $
Anscheinend funktioniert es nach dieser Formel:
$ [mm] E_{i}=\dot{E_{i}}+[E_{0i}-\dot{E_{i}}]exp(\lambda_{i}(t-t_{0})) [/mm] $
Kann diese Formel im Skript nirgendwo finden.
Jetzt weiß ich nicht, ob ich diese Formel immer verwenden darf, oder ob Außnahmen gibt.
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Hallo zoj,
> Wie man auf die Fixpunkte kommt, habe ich verstanden und
> nachvollzogen.
> Ich verstehe nicht, wie man auf die Lösung der
> entkoppelten DGLs für eine konstante Erregung [mm]v_{0}[/mm]
> kommt.
>
> Diese sieht in der Musterlösung folgendermaßen aus:
>
> [mm]E_{1}=\bruch{v_{0}}{10}+[E_{01}-\bruch{v_{0}}{10}]exp(-6(t-t_{0}))[/mm]
>
> [mm]E_{2}=-\bruch{v_{0}}{5}+[E_{02}+\bruch{v_{0}}{5}]exp(-(t-t_{0}))[/mm]
>
Das kann nicht Lösung der beiden gegebenen DGL's sein.
Poste die korrekte Lösungen.
> Anscheinend funktioniert es nach dieser Formel:
>
> [mm]E_{i}=\dot{E_{i}}+[E_{0i}-\dot{E_{i}}]exp(\lambda_{i}(t-t_{0}))[/mm]
>
> Kann diese Formel im Skript nirgendwo finden.
> Jetzt weiß ich nicht, ob ich diese Formel immer verwenden
> darf, oder ob Außnahmen gibt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mo 05.09.2011 | | Autor: | zoj |
Die beiden Fixpunkte der entkoppelten DGLs für eine konstante Erregung [mm] v_{0} [/mm] sind laut Musterlösung:
[mm] E_{1}= \bruch{v_{0}}{10} [/mm] und
[mm] E_{2}= -\bruch{ v_{0}}{5}
[/mm]
Das ist soweit OK.
Nun soll ich die Lösung der entkoppelten DGLs für eine konstante Erregung $ [mm] v_{0} [/mm] $ angeben
und diese ist laut Musterlösung:
$ [mm] E_{1}=\bruch{v_{0}}{10}+[E_{01}-\bruch{v_{0}}{10}]exp(-6(t-t_{0})) [/mm] $
$ [mm] E_{2}=-\bruch{v_{0}}{5}+[E_{02}+\bruch{v_{0}}{5}]exp(-(t-t_{0})) [/mm] $
Nun weiß ich nicht, wie man auf diesen Ausdruck kommt.
Kann die allgemeine Formel nicht finden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Mo 05.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo zoj,
was Du suchst, sind die ganz normalen Lösungen der Differentialgleichungen unter der Randbedingung einer konstanten Anregung. DGLen solltest Du also lösen können.
Für die erste DGL haben wir
[mm] \dot{E_1} + 6 E_1 = \bruch{3}{5} v_0 [/mm]
Das löst man in zwei Schritten, zunächst einmal die homogene DGL
[mm] \dot{E_1} + 6 E_1 = 0 [/mm] und hierfür bekommt man eine sogenannte homogene Lösung
[mm] E_{1h} = C_1\cdot e^{-6t} [/mm]
Danach bestimmt man eine Lösung der inhomogenen DGL, die der ersten Gleichung entspricht. Hierbei kann man beispielsweise einen Ansatz vom Typ der rechten Seite machen und kommt dabei darauf, dass die inhomogene Lösung eine Konstante sein muss, also
[mm] E_{1i} = C_2 [/mm]
Die Ableitung nach der Zeit ist demzufolge Null und man bekommt, Wunder über Wunder, eine Lösung
[mm] E_{1i} = \bruch{v_0}{10} [/mm]
In die obige DGL eingesetzt, bekommt man
[mm] 6 \cdot {\bruch{v_0}{10} = \bruch{3}{5} v_0 [/mm] und das stimmt ja.
Die allgemeine Lösung der DGL ergibt sich aus der Summe von homogener und inhomogener Lösung
[mm] E_{1ges} = C_1 \cdot e^{-6t} + \bruch{v_0}{^10} [/mm]
Da wir wissen, dass für jeden beliebigen Zeitpunkt [mm] v(t) = v_0 [/mm] gilt dies auch für t = 0 und man bekommt
[mm] E_{10} = C_1 + \bruch{v_0}{10} [/mm] und hieraus
[mm] C_1 = E_{10} - \bruch{v_0}{10} [/mm]
So kommt man zur Gesamtlösung
[mm] E_{1ges} = (E_{10} - \bruch{v_0}{10}) \cdot e^{-6t} + \bruch{v_0}{10}[/mm]
Entsprechend geht man bei der zweiten DGL vor. Eine gewisse Ähnlichkeit mit Deiner Lösung ist da, aber es ist nicht dasselbe. Lauten die DGLen anders, kommen natürlich auch andere Ergebnisse raus.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:09 Di 06.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo zoj,
noch ein Wort zur Zeitverschiebung [mm] t - t_0 [/mm], die in Deiner Lösung auftaucht. Aus der DGL ergibt sich diese Zeitverschiebung ist, wie Du beim Nachrechnen erkennen kannst. Ich vermute eher, dass hiermit aus systemtheoretischer Sicht die zeitliche Verzögerung durch einen Vierpol berücksichtigt werden soll. Du kennst solche Bildchen, Dein Eingangssignal hat z.B. einen Sprung bei t= 0, dieser taucht, mehr oder weniger deutlich sichtbar, mit einer Verzögerung von [mm] t_0 [/mm] am Ausgang des Systems auf. Insofern ist Deine Lösung elektrotechnisch betrachtet nicht verkehrt, Dein Wert [mm] E_{01} [/mm] würde dann den Zustand des Systems für den Zeitpunkt [mm] t = t_0 [/mm] beschreiben. Mathematisch jedoch ist dies aus der DGL nicht ablesbar.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mo 05.09.2011 | | Autor: | zoj |
Die beiden Fixpunkte der entkoppelten DGLs für eine konstante Erregung $ [mm] v_{0} [/mm] $ sind laut Musterlösung:
$ [mm] E_{1}= \bruch{v_{0}}{10} [/mm] $ und
$ [mm] E_{2}= -\bruch{ v_{0}}{5} [/mm] $
Das ist soweit OK.
Nun soll ich die Lösung der entkoppelten DGLs für eine konstante Erregung $ [mm] v_{0} [/mm] $ angeben
und diese ist laut Musterlösung:
$ [mm] E_{1}=\bruch{v_{0}}{10}+[E_{01}-\bruch{v_{0}}{10}]exp(-6(t-t_{0})) [/mm] $
$ [mm] E_{2}=-\bruch{v_{0}}{5}+[E_{02}+\bruch{v_{0}}{5}]exp(-(t-t_{0})) [/mm] $
Nun weiß ich nicht, wie man auf diesen Ausdruck kommt.
Kann die allgemeine Formel nicht finden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Mo 05.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Diese Frage entspricht der obigen Frage und sie wurde beantwortet.
Viele Grüße,
Infinit
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