Fixpunkte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:57 So 16.09.2007 | | Autor: | dev-null |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f: \IR^2 \to \IR^2[/mm]
[mm]f(x,y) = (e^{-(1+||(x,y)||_\infty)}, \wurzel{1+||(x,y)||_\infty})[/mm]
genau einen Fixpunkt besitzt. |
Hallo!
Ich hätte folgenden Lösungsvorschlag:
Beweis natürlich mit dem Banachschen Fixpunktsatz.
Wir befinden uns in einem Banachraum. Bleibt zu zeigen:
[mm]||f(a) - f(b)|| \le L * ||a - b|| \wedge L < 1[/mm]
Ich schaue mir die Koponentenfunktionen von f einzeln an.
(Ich benutze dabei den Mittelwertsatz und eine der Dreiecksungleichungen)
1) [mm]||e^{-(1+||(x,y)||_\infty)} - e^{-(1+||(a,b)||_\infty)}||[/mm]
[mm]= |e^{-\xi}| * |(1+||(x,y)||_\infty) - (1+||(a,b)||_\infty)|[/mm]
[mm]= |e^{-\xi}| * |||(x,y)||_\infty - ||(a,b)||_\infty|[/mm]
[mm]\le |e^{-\xi}| * ||(x,y) - (a,b)||_\infty[/mm]
[mm]\le L_1 * ||(x,y) - (a,b)||_\infty[/mm]
[mm]\xi[/mm] liegt zwischen [mm]1+||(x,y)||_\infty[/mm] und [mm]1+||(a,b)||_\infty[/mm], also gilt [mm]\xi > 1[/mm] und somit [mm]L_1 = \bruch{1}{e}[/mm].
2) [mm]|| \wurzel{1+||(x,y)||_\infty} - \wurzel{1+||(a,b)||_\infty} ||[/mm]
[mm]| \bruch{1}{2\wurzel{\xi}} | * | (1+||(x,y)||_\infty) - (1+||(a,b)||_\infty) |[/mm]
[mm]\le | \bruch{1}{2\wurzel{\xi}} | * || (x,y) - (a,b) ||_\infty[/mm]
[mm]\le L_2 * || (x,y) - (a,b) ||_\infty[/mm]
[mm]\xi[/mm] liegt wieder zwischen [mm]1+||(x,y)||_\infty[/mm] und [mm]1+||(a,b)||_\infty[/mm], also gilt wieder [mm]\xi > 1[/mm] und somit [mm]L_2 = \bruch{1}{2}[/mm].
Insgesamt folgt also das [mm]L =max\{L_1, L_2\} = \bruch{1}{e} < 1[/mm] auf jeden Fall erfüllt ist und damit besitzt f einen Fixpunkt.
Ist das so korrekt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Mo 17.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
das sieht gut aus, bis auf die Tatsache, dass [mm]\bruch{1}{2}>\bruch{1}{e}[/mm], weswegen [mm]L= \bruch{1}{2}[/mm]. 
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Mo 17.09.2007 | | Autor: | dev-null |
> das sieht gut aus, bis auf die Tatsache, dass
> [mm]\bruch{1}{2}>\bruch{1}{e}[/mm], weswegen [mm]L= \bruch{1}{2}[/mm].
Ja, das habe ich zwischenzeitlich auch gemerkt ;)
Danke dir, langsam habe ich wieder Hoffnung.> Hallo,
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