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| Aufgabe | Sei [mm] K\subset\IR^{2} [/mm] abgeschlossen und konvex, d.h. aus [mm] P,Q\in [/mm] K folge stets [mm] \overline{PQ}= \{P+t(Q-P)|t\in[0,1]\}\subset [/mm] K. Es sei f: [mm] \IR^{2}\to [/mm] K stetig differnzierbar und für ein festes [mm] 0\le [/mm] q<1
[mm] \parallel\bruch{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\parallel_{K}\le \bruch{q}{2} [/mm] , i,j=1,2
Zeigen Sie, dass f einen Fipunkt besitzt. Zeigen Sie dazu (i=1,2):
(a) [mm] g_{i}(t) [/mm] := [mm] f_{i}(P+t(Q-P)) [/mm] : [mm] [0,1]\to \IR [/mm] ist stetig differenzierbar und [mm] g_{i}(1)-g_{i}(0)=g'(t_{o}) [/mm] für ein [mm] t_{0}\in [/mm] (0,1).
(b) [mm] |f_{i}(Q)-f_{i}(P)|\le\bruch{q}{2}(|Q_{1}-P_{1}|+|Q_{2}-P_{2}|) [/mm] und [mm] \parallel f(Q)-f(P)\parallel_{\infty}\le q\parallel Q-P\parallel_{\infty} [/mm] |
Hallo!
Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.Ich habe leider keine Idee zu dieser Aufgabe.
Hilft bei der (b) vielicht der Mittelwertsatz (MWS) weiter?
Was soll mir i,j=1,2 sagen, dass 1=1und 2 annehemn kann und j=1 und 2 anehmen kann? falls ja was mache ich dann mit dem MWS ? da gäbe es ja 4 verschiedene möglcihkeiten 1 und 2 einzusetzen...
Und wenn ich a nd b bewiesen hätte, wie folgt darraus das f einen Fixpunkt besitzt? Über ein Kontraktion, sollte das eine sein? (könnte der 2 Teil bei (b) mir sagen das es eine ist?
Ich hoffe ihr erkennt was ich meine!?!
Wäre super wenn ihr mir mit Tipps, Hinweisen Lösungsskizzen, oder Lösungen ^^ weiter helfen könntet.
Vielen, vielen Dank auf jeden Fall schonmal im Vorraus !!
Eure Spider
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Sei [mm]K\subset\IR^{2}[/mm] abgeschlossen und konvex, d.h. aus
> [mm]P,Q\in[/mm] K folge stets [mm]\overline{PQ}= \{P+t(Q-P)|t\in[0,1]\}\subset[/mm]
> K. Es sei f: [mm]\IR^{2}\to[/mm] K stetig differnzierbar und für ein
> festes [mm]0\le[/mm] q<1
>
> [mm]\parallel\bruch{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\parallel_{K}\le \bruch{q}{2}[/mm]
> , i,j=1,2
>
> Zeigen Sie, dass f einen Fipunkt besitzt. Zeigen Sie dazu
> (i=1,2):
>
> (a) [mm]g_{i}(t)[/mm] := [mm]f_{i}(P+t(Q-P))[/mm] : [mm][0,1]\to \IR[/mm] ist stetig
> differenzierbar und [mm]g_{i}(1)-g_{i}(0)=g'(t_{o})[/mm] für ein
> [mm]t_{0}\in[/mm] (0,1).
>
> (b)
> [mm]|f_{i}(Q)-f_{i}(P)|\le\bruch{q}{2}(|Q_{1}-P_{1}|+|Q_{2}-P_{2}|)[/mm]
> und [mm]\parallel f(Q)-f(P)\parallel_{\infty}\le q\parallel Q-P\parallel_{\infty}[/mm]
>
> Hallo!
> Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.Ich habe leider
> keine Idee zu dieser Aufgabe.
> Hilft bei der (b) vielicht der Mittelwertsatz (MWS) weiter?
Ja.
> Was soll mir i,j=1,2 sagen, dass 1=1und 2 annehemn kann und
> j=1 und 2 anehmen kann? falls ja was mache ich dann mit dem
> MWS ? da gäbe es ja 4 verschiedene möglcihkeiten 1 und 2
> einzusetzen...
Ja, aber der MWS bezieht sich ja auf g und g ist nur in einer Variable definiert - im Gegensatz zu f.
> Und wenn ich a nd b bewiesen hätte, wie folgt darraus das
> f einen Fixpunkt besitzt? Über ein Kontraktion, sollte das
> eine sein? (könnte der 2 Teil bei (b) mir sagen das es eine
> ist?
Banach'scher Fixpunktsatz, also ja und ja.
>
> Ich hoffe ihr erkennt was ich meine!?!
> Wäre super wenn ihr mir mit Tipps, Hinweisen
> Lösungsskizzen, oder Lösungen ^^ weiter helfen könntet.
>
> Vielen, vielen Dank auf jeden Fall schonmal im Vorraus !!
>
> Eure Spider
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