Fixgerade < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Mi 29.04.2009 | | Autor: | ljoker |
hallo.
mit der bestimmung von fixpunkten und fixpunktgeraden habe ich ja kein problem, aber fixgeraden...?
kann mir jemand erklären was das genau ist und wie ich darauf komme?
habe auch eine beispiel aufgabe, und zwar soll ich zu der affinen abbildung die fixgerade finden:
x´= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 4 & -2 } [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] \vektor{-3 \\ -2}
[/mm]
soweit ich weiß bestimmt man zunächst eigenwerte und eigenvektoren. das hab ich auch schon gemacht:
eigenwerte: x1=2 und x2=-3
eigenvektoren: [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ -4}
[/mm]
wie gehts jetzt weiter? und kann man irgendworan erkennen das eine fixgerade vorliegt?
vielen danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Mi 29.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Fixpunktgerade hast du, wenn die Gerade
[mm] t*\vektor{x \\ mx+b} [/mm] in eine Gerade [mm] \vektor{x' \\m x'+b}
[/mm]
uebergeht. also einfach die Gerade abbilden, und m und b bestimmen. Wenn mehr als ein fixpkt auf der geraden liegt ist sie Fixpunktgerade, sonst nur Fixgerade.
Du wirst sehen deine Eigenvektoren sind ie Richtungsvektoren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mi 29.04.2009 | | Autor: | ljoker |
mhh aber was für eine gerade soll ich den abbilden? ich habe doch nur meine abbildung gegeben?
was muss ich damit jetzt machen damit ich die fixgerade erhalte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Mi 29.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Setze die Gerade in die Abbildung ein, also berechne:
[mm] \vec{x'}=\pmat{1&1\\4&-2}\red{\left(t\cdot{}\vektor{x\\mx+b}\right)} +\vektor{-3\\-2}
[/mm]
Da bei der Fixpunkt gerade gilt: [mm] \vec{x'}=\vektor{x\\mx+b}, [/mm] wie leduart schon sagte, gilt:
[mm] \vektor{x\\mx+b}=\pmat{1&1\\4&-2}\left(t\cdot{}\vektor{x\\mx+b}\right)+\vektor{-3\\-2}
[/mm]
Aus diesem Gleichungssystem bestimme dann mal m und b.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mi 29.04.2009 | | Autor: | ljoker |
mhh auch das hilft mir nicht weiter, kann das leider nicht auflösen bzw. es bleiben total viele unbekannte über. ich meine auch immer noch ich könnte die grade mit hilfe der eigenwerte bzw eigenvektoren aufstellen. gibts da nicht auch eine lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mi 29.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
lass das t weg, das ist ueberfluessig und irritiert. du kriegst 2 Gleichungen x'=...,y'= darin x durch x' ergaenzen, und du hast ne Gleichung:
y'=Ax'+B
mit A=m und B=b hast du 2 Bestimmungsgl. fuer m und b.
Deine Eigenvektoren sind ja nur Eigenvektoren der Matrix?. dazu wird ja noch der Verschiebungsvektor addiert.
deshalb seh ich hier keinen anderen Weg.
(Heisst aber nicht, dass es ihn nicht gibt)
fuer mich sind das 4 Zeilen Rechnung, ich weiss nicht, warum das viel laenger ist als die Eigenvektoren zu berechnen.
Gruss leduart
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