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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Steffi21 |
| Aufgabe | Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
a) [mm] F_{k+2} \ge a^{k}, [/mm] k [mm] \in [/mm] N
b) [mm] F_k^2 [/mm] = [mm] F_{k-1} F_{k+1} [/mm] + [mm] (-1)^{k+1}, [/mm] k [mm] \in [/mm] N \ (0;1)
Dabei bezeichnet [mm] F_k [/mm] die k-te Fibonacci Zahl und a ist der Goldene Schnitt [mm] (a=\bruch{1+\wurzel{5}}{2})
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
zu a) die Fibonacci Zahlen sind 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...., sie beginnen mit 0 und 1, die nächste Zahl erhalte ich aus der Summe der beiden vorhergenden Zahlen, das ist mir klar, die vollständige Induktion müßte beginnen mit k=0, also ist [mm] F_{k+2} [/mm] die Zahl 1, daraus folgt:
1 [mm] \ge (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{0}, [/mm] eine Zahl hoch Null ist immer 1, damit gilt 1 [mm] \ge [/mm] 1, es handelt sich um eine wahre Aussage, der erste schritt der Induktion ist mir klar, wie kann ich es für k bzw. k+1 beweisen?
zu b) habe ich leider noch keine Idee
Danke Steffi
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Hallo!
Weißt Du, wo dieser seltsam aussehende goldene Schnitt herkommt, also die Zahl $a = [mm] \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$? [/mm] Das ist einer der beiden Nullstellen der Gleichung [mm] $X^2 [/mm] - X - 1$, mit anderen Worten: es gilt [mm] $a^2 [/mm] - a -1 = 0$ oder [mm] $a^2 [/mm] = a + 1$.
Damit ist das doch kein Problem... Du willst zeigen, dass [mm] $F_{k+3} \geq a^{k+1}$ [/mm] gilt. Eingesetzt ergibt das:
[mm] $F_{k+3} [/mm] = [mm] F_{k+1} [/mm] + [mm] F_{k+2} \geq a^{k-1} [/mm] + [mm] a^k [/mm] = [mm] a^{k-1} \cdot [/mm] (1 + a) = [mm] a^{k-1} \cdot a^2 [/mm] = [mm] a^{k+1}$.
[/mm]
Fertig. Wichtig ist, dass Du im Induktionsschritt als Voraussetzungen auf die letzten zwei Schritte Bezug nimmst und daher den Induktionsanfang auch für zwei Zahlen machen musst.
Füyr b) mal einen Ansatz: schreibe [mm] $F_{k+1}^2 [/mm] = [mm] (F_k [/mm] + [mm] F_{k-1})^2$, [/mm] multipliziere das aus und löse es nach [mm] $F_k^2$ [/mm] auf - dann kannst Du die Induktionsvoraussetzung für [mm] $F_{k-1}^2$ [/mm] verwenden und weiterrechnen.
Viel Erfolg!
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Steffi21 |
Danke für die schnelle Lösung, wichtig war für mich der Nullstellenhinweis
[mm] a^{2} [/mm] - a - 1 = 0, somit konnte ich die Aufgabe wunderbar lösen,
Steffi
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