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| Aufgabe | (Die Folge der Fibonacci-Zahlen)
Sie wird definiert durch die Rekursionsvorschrift
[mm] a_{0} [/mm] = 0 ; [mm] a_{1} [/mm] = 1 ; [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + [mm] a_{n-1} [/mm] für alle (n [mm] \ge [/mm] 1) :
Aufgabe:
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Ungleichungsketten
a) [mm] \bruch{a_{2n}}{a_{2n-1}}< \bruch{a_{2n+1}+a_{2n}}{a_{2n}+a_{2n-1}}< \bruch{a_{2n+1}}{a_{2n}}
[/mm]
b) [mm] \bruch{a_{2n+2}}{a_{2n+1}}< \bruch{a_{2n+1}+a_{2n+2}}{a_{2n}+a_{2n+1}}< \bruch{a_{2n+1}}{a_{2n}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo erstmal ^^
Ich habe hier ein Problem beim Beweisen dieser beiden Ungleichungen.
Meine Ansätze sind nicht sehr viel versprechend bisher und langsam bin ich ernsthaft am Verzweifeln.
Ich hatte darüber nachgedacht ob man dies über den Golden Schnitt beweisen könnte, wusste aber nicht recht wie ich das anstellen soll.
Umformungen haben mir nix gebracht ich stehe immer vor dem selben problem. :(
Deswegen frage ich Euch ob ihr mir vielleicht einen Rat geben könnt damit ich diese Aufgabe endlich beenden kann.
danke schon einmal im Voraus.
mfg der Iwan
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Hallo Iwan,
schreibe die Ungleichungskette a) so, dass nur noch die beiden Glieder [mm] a_{2n} [/mm] und [mm] a_{2n-1} [/mm] darin vorkommen. Das geht mit Hilfe der Rekursionsvorschrift.
Schreibe die Ungleichungskette b) so, dass nur noch die beiden Glieder [mm] a_{2n} [/mm] und [mm] a_{2n+1} [/mm] darin vorkommen. Geht entsprechend a).
Von da ist es nicht mehr weit bis zum Nachweis, dass beide Ketten falsch sind. Es gilt jeweils nur eine der beiden angegebenen Relationen.
Grüße
reverend
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mmh ok. viele dank erst einmal :)
Ich habe das jetzt einmal mit der linken seite aus a) probiert
[mm] \bruch{a_{2n}}{a_{2n-1}}<\bruch{a_{2n+1} + a_{2n}}{a_{2n}+a_{2n-1}}
[/mm]
Da reicht ja ein Schritt aus um die gewollte Form zu haben
Nach der Vorschrift gilt nun
[mm] \bruch{a_{2n}}{a_{2n-1}}<\bruch{a_{2n} +a_{2n-1} + a_{2n}}{a_{2n}+a_{2n-1}}
[/mm]
Dies kann man auch schreiben als
[mm] \bruch{a_{2n}}{a_{2n-1}}<1+ \bruch{a_{2n}}{a_{2n}+a_{2n-1}}
[/mm]
oder eben nach reichlichem Umformen
[mm] a_{2n}\*a_{2n}+a_{2n}\*a_{2n-1}
hier müsste man jetzt zeigen das
[mm] a_{2n}\*a_{2n}
bzw
[mm] a_{2n}\*a_{2n}
leider gibt mir keine der 3 Umformungen eine eindeutige Aussage darüber ob diese Ungleichung stimmt :(
mache ich irgendetwas grundsätzlich falsch oder sehe ichs bloß nicht?
mfg der Iwan
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Hallo Iwan,
das sieht doch schon ganz gut aus.
> Ich habe das jetzt einmal mit der linken seite aus a)
> probiert
>
> [mm]\bruch{a_{2n}}{a_{2n-1}}<\bruch{a_{2n+1} + a_{2n}}{a_{2n}+a_{2n-1}}[/mm]
>
> Da reicht ja ein Schritt aus um die gewollte Form zu haben
> Nach der Vorschrift gilt nun
>
> [mm]\bruch{a_{2n}}{a_{2n-1}}<\bruch{a_{2n} +a_{2n-1} + a_{2n}}{a_{2n}+a_{2n-1}}[/mm]
>
> Dies kann man auch schreiben als
>
> [mm]\bruch{a_{2n}}{a_{2n-1}}<1+ \bruch{a_{2n}}{a_{2n}+a_{2n-1}}[/mm]
Ja, gut gesehen.
> oder eben nach reichlichem Umformen
>
> [mm]a_{2n}\*a_{2n}+a_{2n}\*a_{2n-1}
Na, das geht aber deutlich kürzer nach der letzten Umformung davor:
[mm] a_{2n}^2+\blue{a_{2n}*a_{2n-1}}
Die blauen Terme fallen weg. Bleibt
[mm] a_{2n}^2
[...]
[mm] a_{2n}*a_{2n-2}
Und wenn Du nicht gerade ein Gegenbeispiel findest, kannst Du das mit vollst. Induktion zeigen.
> hier müsste man jetzt zeigen das
>
> [mm]a_{2n}\*a_{2n}
>
> bzw
>
> [mm]a_{2n}\*a_{2n}
Wie kommst Du denn auf die letzte Ungleichung? Die stimmt m.E. nicht.
> leider gibt mir keine der 3 Umformungen eine eindeutige
> Aussage darüber ob diese Ungleichung stimmt :(
>
> mache ich irgendetwas grundsätzlich falsch oder sehe ichs
> bloß nicht?
Grüße
reverend
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Meine letzte Ungleichung ergibt sich daraus das ich [mm] a_{2n-1} [/mm] ausgeklammert habe dann steht da für die rechte Seite [mm] a_{2n-1}\*(a_{2n-1}+a_{2n}) [/mm]
was nach der Rekursionsformel [mm] a_{2n-1}\*a_{2n+1} [/mm] ist.
Gut ich werde mir einmal ein Gegenbeispiel ansehen und evt. Versuchen dies mit Induktion zu beweisen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 24.04.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Iwan,
> Meine letzte Ungleichung ergibt sich daraus das ich
> [mm]a_{2n-1}[/mm] ausgeklammert habe dann steht da für die rechte
> Seite [mm]a_{2n-1}\*(a_{2n-1}+a_{2n})[/mm]
>
> was nach der Rekursionsformel [mm]a_{2n-1}\*a_{2n+1}[/mm] ist.
Ach klar. Da habe ich nicht gut hingeschaut.
> Gut ich werde mir einmal ein Gegenbeispiel ansehen und evt.
> Versuchen dies mit Induktion zu beweisen.
Es hängt sehr davon ab, wie der Index definiert ist. Nehmen wir mal ein Stück aus den "normalen" Fibonacci-Zahlen: ...2,3,5,8,13,21...
Dann ist
[mm] 3^2<2*5
[/mm]
[mm] 5^2>3*8
[/mm]
[mm] 8^2<5*13
[/mm]
[mm] 13^2>8*21
[/mm]
Das ginge zwar noch genauer, reicht aber hier schon.
Viel Erfolg
reverend
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