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Fermatscher Satz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 Mi 14.04.2010
Autor: Fry

Aufgabe
G endliche Gruppe, [mm] a\in [/mm] G. Dann gilt: [mm] a^{ord G}=e [/mm]

Hallo zusammen.

ich möchte obere Aussage beweisen. Mir fehlt noch zu zeigen, dass
[mm] a^{ord}=e. [/mm] Wie kann ich das am besten machen?
Wäre toll, wenn mir jemand einen Beweis geben könnte.

Würdet ihr das über die Beziehung: ord [mm] =min\{k\in\IN, a^k=e\} [/mm]
beweisen? (Bzw falls ja, wie beweist man die Formel ?) oder kann man das auch schneller mit der Charakterisierung zyklischer Gruppen machen?

Würde mich freuen, wenn ihr mir damit helfen könntet. Danke.
LG
Fry


        
Bezug
Fermatscher Satz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Mi 14.04.2010
Autor: felixf

Moin Christian,

> G endliche Gruppe, [mm]a\in[/mm] G. Dann gilt: [mm]a^{ord G}=e[/mm]
>  
> ich möchte obere Aussage beweisen. Mir fehlt noch zu
> zeigen, dass
>  [mm]a^{ord}=e.[/mm] Wie kann ich das am besten machen?
>  Wäre toll, wenn mir jemand einen Beweis geben könnte.
>  
> Würdet ihr das über die Beziehung: ord [mm]=min\{k\in\IN, a^k=e\}[/mm]

die reine Definition hilft dir nur begrenzt weiter; eigentlich nur im Zusammenhang mit Hilfsmitteln (wie den Satz von Lagrange, s.u.).

> beweisen? (Bzw falls ja, wie beweist man die Formel ?) oder
> kann man das auch schneller mit der Charakterisierung
> zyklischer Gruppen machen?

Kennst du schon den Satz von Lagrange? Damit folgt doch, dass die Ordnung von $a$ ein Teiler von $ord G$ ist. Damit hast du die Aussage sofort.

Ansonsten erzaehl mal, welche Resutate ihr schon hattet ;)

LG Felix

Bezug
                
Bezug
Fermatscher Satz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 Mi 14.04.2010
Autor: Fry

Huhu Felix :)

jap, also als Definition von ord a haben wir: ord a:=ord <a>=Mächtigkeit von <a>
Daher müsste man ja die Aussage mit dem Minimum noch beweisen.

Wie meinst du das mit dem Satz von Lagrange ?
Damit hab ich geschlußfolgert:
ord <a> | ord G
also sei $ord G= k*ord <a>$ mit [mm] k\in\IN [/mm]
Dann:
[mm] a^{ord G}=(a^{ord })^k. [/mm]
Wenn man jetzt ja noch zeigt, dass [mm] a^{ord }=e [/mm] ist, wäre man fertig.
Aber wieso folgt das auch aus dem Satz von Lagrange? Oder hab ich das falsch verstanden?

Lieben Gruß!
Christian
Bezug
                        
Bezug
Fermatscher Satz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Mi 14.04.2010
Autor: SEcki


> jap, also als Definition von ord a haben wir: ord a:=ord
> <a>=Mächtigkeit von <a>
>  Daher müsste man ja die Aussage mit dem Minimum noch
> beweisen.

Ja, aber das ist einfach.

> Wie meinst du das mit dem Satz von Lagrange ?

Was meinst du?

>  Damit hab ich geschlußfolgert:
>  ord <a> | ord G

>  also sei [mm]ord G= k*ord [/mm] mit [mm]k\in\IN[/mm]
>  Dann:
>  [mm]a^{ord G}=(a^{ord })^k.[/mm]
>  Wenn man jetzt ja noch zeigt,
> dass [mm]a^{ord }=e[/mm] ist, wäre man fertig.

Genau.

>  Aber wieso folgt das auch aus dem Satz von Lagrange? Oder
> hab ich das falsch verstanden?

Weil du ihn gerade verwendet hast im obigen Beweis?!

SEcki
Bezug
                                
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Fermatscher Satz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 Mi 14.04.2010
Autor: Fry

Hi Secki,

aber wie zeig ich denn nun a^(ord <a>)=e ?
Gruß
Christian
Bezug
                                        
Bezug
Fermatscher Satz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Mi 14.04.2010
Autor: Arcesius

Hallo

> Hi Secki,
>  
> aber wie zeig ich denn nun a^(ord <a>)=e ?

Das ist doch die Definition der Ordnung eines Gruppenelements.

|<a>| = [mm] min\{k \in \IN: a^{k} = e\} [/mm]

Somit gilt für |<a>| = k: [mm] a^{k} [/mm] = [mm] a^{||} [/mm] = e

>  Gruß
>  Christian

Grüsse, Amaro
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Bezug
Fermatscher Satz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 Mi 14.04.2010
Autor: felixf

Hallo Christian,

> aber wie zeig ich denn nun a^(ord <a>)=e ?

ihr hattet doch die Charakterisierung zyklischer Gruppen. Du brauchst dir das ganze also nur fuer das (erzeugende) Element 1 aus der Gruppe [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] ueberlegen, und da ist es sehr einfach.

LG Felix

Bezug
                                                
Bezug
Fermatscher Satz: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:04 Fr 16.04.2010
Autor: Fry

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