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Nachdem ich die Aufgabe zum driten Mal durchgehe und immer auf das selbe komme, würde ich gerne ein zweites Augenpaar zu Rate ziehen ;)
Gegeben sind zwei Poissonprozesse [mm] N_1 [/mm] und [mm] N_2 [/mm] mit Parametern [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2, [/mm] sowie deren Summe [mm] N(t)=N_1(t)+N_2(t). [/mm] Gesucht wird [mm] P(N_1(t)=i|N(t)=n).
[/mm]
Ich habe Folgendes gerechnet:
[mm] P(N_1(t)=i|N(t)=n)=\bruch{P(N(t)=n|N_1(t)=i)*P(N_1(t)=i)}{P(N(t)=n)}
[/mm]
[mm] =\bruch{P(N_1(t)=i)P(N_2(t)=n-i)}{P(N(t)=n)}
[/mm]
[mm] =\bruch{exp(-\lambda_1t)*\bruch{(\lambda_1t)^i}{i!}exp(-\lambda_2t)\bruch{(\lambda_2t)^{n-i}}{(n-i)!}}{\sum_{k=0}^n exp(-\lambda_2t)\bruch{(\lambda_2t)^k}{k!} exp(-\lambda_1t)*\bruch{(\lambda_1t)^{n-k}}{(n-k)!}}
[/mm]
[mm] =(\bruch{\lambda_1t}{\lambda_2t})^i (\lambda_2t)^n*\bruch{1}{i!(n-i)!}\bruch{1}{\sum_{k=0}^n\bruch{1}{k!(n-k)!}(\bruch{\lambda_2t}{\lambda_1t})^k(\lambda_1t)^n}
[/mm]
[mm] =(\stackrel{n}{i})(\bruch{\lambda_1}{\lambda_2})^i(\bruch{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2})^n.
[/mm]
Beim letzten Gleichheitszeichen wende ich [mm] \sum_{k=0}^n(\stackrel{n}{k})x^k=(1+x)^n [/mm] an.
Ich denke aber, es sollte eine Binomialverteilung rauskommen, da es so "nah" dran ist.
Sieht jemand meinen Rechen- oder Denkfehler?
Danke euch!
Edit: Ok manchmal ist man blind. War alles richtig. Im letzten Schritt nur aus dem "hoch n" ein "hoch (n-i)+i" machen und dann aufspalten, dann kommt die Binomialverteilung raus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 28.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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