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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Di 17.10.2006 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Experimentelle Geschwindigkeitsmessung
Ein Stein fällt frei aus einer Höhe [mm]h_0 = 10 [/mm]. Im wesentlichen kennen Sie die Gesetze des freien Falls und können ausrechnen, wie sich die Höhe und Geschwindigkeit des Steins mit der Zeit ändern:
[mm] h(t) = h_0 - \bruch{1}{2} g t^2, v(t) = - gt, g \approx 9,8 \bruch{m}{s^2}[/mm].
Darüberhinaus wollen Sie eine Präzisionsmessung der Auftreffgeschwindigkeit in der Höhe h = 0 vornehmen. Dazu wollen sie außer den Zeitpunkt des Aufschlages zusätzlich mit einer Lichtsschranke messen, zu welcher Zeit der Stein die Höhe [mm] \delta [/mm] h passiert.
In welcher Höhe [mm] \delta [/mm] h dürfen sie selbst bei genauest möglichen Zeitmessungen die Lichtschranke montieren, wenn die aus dem Differenzenquotienten bestimmte Auftreffgeschwindigkeit um nicht mehr als 0,1% vom wahren Wert abweichen soll? Wie genau müssen Sie beide Zeiten mindestens messen, um diese Präzision zu erreichen? |
Ich stelle mir die Rechnung so vor, ich ermittele den theoretischen Wert für die Geschwindigkeit v_max.
[mm]0=h_0 - \bruch{1}{2} g t^2[/mm]
Ermittle die Zeit aus der Gleichung, setze die Zeit in
[mm] v = -gt [/mm] ein und erhalte den theoretischen Wert für v_max.
Ich hoffe, das ich bis hier noch liege... .
Bilde dann über den Dreisatz das Verhältnis, um die Abweichungsgeschwindigkeit zu ermitteln.
[mm] \bruch{14 \bruch{m}{s^2}}{100Prozent} = \bruch{v}{100Prozent - 0,1Prozent}[/mm]
'Bekommen somit v, stelle
[mm] v = -gt [/mm] (Den Betrag!)
nach t um
[mm] \left| \bruch{v}{g} \right| = \left| t \right|[/mm]
Setze t in
[mm]h(t) = h_0 - \bruch{1}{2} g t^2[/mm]
ein.
'Erhalte dann h' und bilde dann
[mm] \Delta h = h_0 - h'[/mm]
Da fällt mir gerade auf, es war ja noch die Rede vom Differenzenquotienten.
Das wäre:
[mm]\Delta v = \bruch{\Delta h}{\Delta t}[/mm]
Aber [mm] \Delta [/mm] h hatte ich ja schon ausgerechnet oder heißt, v ist durch diesen Differenzenquotienten schon bestimmt worden?
Ich habe auch Probleme mit der Fallgeschwindigkeit, denn die ist ja auf eine Nachkommastelle gerundet worden. Runde ich alle Werte der Rechnung auf eine Nachkommastelle, summieren sich die Fehler schnell auf und für die Bestimmung durch den Dreisatz (falls das überhaupt richtig ist) reicht mir eine Nachkommastelle nicht aus.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wo der Fehler liegt?
Für Hilfe (Anregungen) wäre ich wie immer sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Di 17.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo murmel
Es geht ja nicht um die Genauigkeit von g, sondern du misst nur Zeiten und Wege. Einzige Vorraussetzung , die du für die Rechnung brauchst: a=g=konstant.
Dann kannst du die Auftreffgeschwindigkeit aus h und t berechnen: v=h/2t1, t1 Fallzeit. Das ist deine erste Messung. zweite Messung Fall bis [mm] \delta [/mm] h, Zeit t2
Geschwindigkeit berechnet aus v= [mm] \delta [/mm] h/(t1-t2) und dieses v soll von dem ersten höchstens um 0.1% abweichen. Dazu brauchst du jetzt den ungefähren Wert von g, um die Größe von v etwa zu wissen mit [mm] v=\wurzel{2gh}.
[/mm]
um die 0,1% abzuschätzen.
jetzt sollst du die Höhe [mm] \delta [/mm] h abschätzen bei beliebig genauer Zeitmessung, und dann im 2. Teil noch, wie genau muss man die Zeit messen.
Damit sollte erst mal die Problemstellung klar sein, und du kannst dir wieder Gedanken machen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Di 17.10.2006 | | Autor: | murmel |
Hallo leduart oder wer auch immer gerade diese Zeilen lesen sollte.
Ist das Ergebnis für [mm] \Delta [/mm] h etwa [mm] \approx [/mm] 0,02 m?
Und die Genauigkeit für die Zeiten sollten mit mindestens Zweinachkommastellen angegeben werden um die Präzision zu erreichen.
Oh bitte, lass' es so sein.
Viele Grüße
murmel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Mi 18.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du deine Rechng aufschreibst, prüf ich sie nach, kurz überschlagen ist es etwa richtig. Es selbst zu rechnen hab ich heut nacht keine Lust.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Mi 18.10.2006 | | Autor: | murmel |
Hallo leduart, die Antwort, das es "überschlagen" richtig sei, reicht mir vollkommen.
Ich danke dir wieder einmal mehr.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Do 19.10.2006 | | Autor: | murmel |
Hallo leduart oder wer auch immer antworten mag, ich denke, das ich noch einmal Hilfe brauche.
Also, ich gestehe, das ich deinen Ansatz, leduart, nicht verstanden habe.
Damit du mir eventuell weiterhelfen kannst und merkst wo der Fehler in der Rechnung beginnt, schreibe ich nun alles ausführlich auf.
Problem: Es geht hier doch um den freien Fall, ohne Reibung zu berücksichtigen.
Ich möchte ja wissen, wie schnell der Stein (als Punktmasse) sein wird, wenn er die Nullmarke erreicht, also auf den Boden aufprallt.
Ich setze also die Gleichung
[mm]1)[/mm] [mm]h(t) = 10 - \bruch{1}{2} * g * t^2_t[/mm]
Null, das ist der Fall wenn h(t) = 0 wird - der Stein also den Boden berührt. Dort (in h(0) = 0) wird die Geschwindigkeit maximal!
Also erhalte ich:
[mm]0 = 10 - \bruch{1}{2} * g * t^2_t[/mm]
[mm]-10 = - \bruch{1}{2} * g * t^2_t[/mm]
[mm](-10)* 2 = - g * t^2_t[/mm]
[mm]\bruch{(10)* 2}{g} = t^2_t[/mm]
[mm]t_t = \wurzel{\bruch{(10)* 2}{g}}[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]t_t = \wurzel{\bruch{20}{9,8}}[/mm]
[mm]t_t = 1,42857142857143 s[/mm]
Die Zeit [mm] t_t [/mm] habe ich dann in
[mm]2)[/mm][mm]v = g * t[/mm]
eingesetzt, t = [mm] t_t
[/mm]
[mm]v_t = g * t_t[/mm]
[mm]v_t = 9,8 * 1,42857142857143 [/mm]
[mm]v_t = 14,00000000000000[/mm]
Da in der Aufgabe gefordert wird, das [mm]v_a_b[/mm] nur um 0,1 Prozent von [mm] v_t [/mm] abweichen darf, habe ich mithilfe dieses Wertes (lineare Vermutung) ein Verhältnis gebildet, undzwar über den Dreisatz.
[mm] \bruch{v_t}{100} = \bruch{v_a_b}{100 - 0,1}[/mm]
[mm] v_a_b = \bruch{v_t(100 - 0,1)}{100}[/mm]
Daraus erhalte ich den Wert:
[mm] v_a_b = 13,986[/mm] (WICHTIG!)
Mithilfe dieses Wertes
kann ich nun Gl. 2) nach t umstellen, setze für
[mm]t = t_a_b[/mm],
[mm] t_a_b = \bruch{v_a_b}{g}[/mm]
[mm] t_a_b = \bruch{13,986}{9,81}[/mm]
[mm] t_a_b = 1,42714285714286[/mm]
Den Wert [mm]t_a_b[/mm] habe ich nun in Gl. 1) eingesetz um die Höhe zu ermitteln in der sich der zweite Sensor befunden muss.
[mm]h(t) = 10 - \bruch{1}{2} * g * (t_a_b)^2[/mm]
[mm]h(t) = 10 - \bruch{1}{2} * 9,8 * (1,42714285714286)^2[/mm]
[mm]h(t) = 10 - \bruch{1}{2} * 9,8 * (2,03673673469389)[/mm]
Die Höhe beträgt
[mm]h(t) = 9,98001[/mm]
Jetzt bilde ich die Differenz um [mm] \Delta [/mm] h zu ermitteln:
[mm]3)[/mm] [mm] \Delta h = h_0 - h(t)[/mm]
[mm] \Delta h = 10 - 9,98001[/mm]
[mm] \Delta h = 0,0199899999999609[/mm]
Problem, der Differenzenquotient, wenn ich das richtig gelesen habe, steht dort sinngemäß 'die aus dem
Differenzenquotienten ermittelte Auftreffgeschwindigkeit' soll ermittelt werden.
Doch ist hier und kann hier v nicht konstant sein, denn der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Du schriebst deswegen wohl g ist ja konstant! Berücksichtige ich das, wird zwangsläufig der Differenzenquotient für die Fallbeschleunigung bestimmt(!)werden und nicht der für die Geschwindigkeit.
Denn mit letzterem kann ich zwar arbeiten, aber in der Aufgabe wird ja verlangt, dass der Differenzenquotient von v bestimmt wird! Stelle ich mich dumm (und glaube mir, das fällt mir nicht schwer!) und setze einfach
[mm] v = \bruch{ \Delta h}{t_t - t_a_b}[/mm]
[mm] v = \bruch{ 0,0199899999999609}{1,42857142857143 - 1,42714285714286}[/mm]
[mm] v = 13,993[/mm]
[mm] 13,993 \not= 13,986[/mm] (FEHLER!)
Jongliere ich nun mit den Nachkommastellen, erhalte ich mit 5 Nachkommastellen Auskunft über die Genauigkeit.
5 Nachkonmmastellen geben zwar an, das v unterhalb 0,1 Prozent liegt, allerdings ist die Präzision, so dass = 0,1 Prozent herauskommt, nicht gegeben!
Mit deinen Formeln kann ich irgendwie nichts anfangen, ich dachte mir würde die Schötzung der Richtigkeit des Ergebnisses reichen, aber das werde ich besser bleiben lassen, denn als (werdender) Lehrer sollte man ja schließlich (fast) alles "verstanden" haben.
Nehme ich jedoch den Differenzenquotienten für g:
[mm] g_r = \bruch{ \Delta v_t - \Delta v}{t_t - t_a_b}[/mm]
[mm] g_r [/mm] = const.
dann stimmt der ermittelte Wert mit 13,986 überein
[mm] g_r = \bruch{ 14 - 13,986}{1,42857142857143 - 1,42714285714286}[/mm]
[mm] g_r = \bruch{ 14 - 13,986}{1,42857142857143 - 1,42714285714286}[/mm]
[mm] g_r = 9,79020979021181[/mm]
Wobei jedoch
[mm]g \not= g_r[/mm]
Das widerspricht der Vorraussetzung für die Konstantheit von g!!!
Also ich würd mich freuen wenn du dir zu solch später Stund die Mühe machtest und einfach mal guckst wo der Fehler liegt. Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Fr 20.10.2006 | | Autor: | a404error |
ich habe genau das gleiche problem^^
ich bin bei delta h mit 0,02m rausgekommen...
und zwar durch
[mm]h(x)=10-\bruch{1}{2} gt²[/mm]
von dem ich dann [mm]t=\bruch{10}{7}[/mm] raushole
dann
[mm]v(t)=-gt²
=-9,8(\bruch{10}{7})²
=-14m/s[/mm]
dann habe ich 0,1% von 14m/s genommen und dann 14-diese 0,1%
=13,986
dann habe ich wieder
[mm]v(t)=-gt²
=-9,8t[/mm]
[mm]t=13,989/-9,8
=-999/700[/mm]
ich habe dann diese zeit t2 genannt
[mm]h(x)=10-\bruch{1}{2} gt2²
=10-(\bruch{1}{2})9,8(999/700)² \approx 0,02m[/mm]
aber ich ahb irgendwie das gefühl das das nicht richtig ist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Fr 20.10.2006 | | Autor: | a404error |
> [mm]v_a_b = 13,986[/mm] (WICHTIG!)
>
> [mm]v = \bruch{ \Delta h}{t_t - t_a_b}[/mm]
>
>
> [mm]v = \bruch{ 0,0199899999999609}{1,42857142857143 - 1,42714285714286}[/mm]
>
> [mm]v = 13,993[/mm]
>
> [mm]13,993 \not= 13,986[/mm] (FEHLER!)
liegt doch noch in den 0,1% erlaubten "fehler"
> 0,1% von 14 = 0,014
14+0,14=14,014
14-0,014=13,986
somit 13,986 [mm] \le [/mm] 13,993 [mm] \le [/mm] 14,014
da ja 0,1% von 14 0,014 sind und 13,986=(14-0,014) somit ist 13,993 der "unterste" wert für deine geschwindigkeit die du mit dem differenz quotienten finden kannst
13,986 [mm] \le [/mm] 13,993 [mm] \le [/mm] 14,014
also is dein wert doch noch ok (es steht in der frage "(...) um nicht mehr als 0,1% vom wahren wert abweichen soll." also 14 [mm] \pm [/mm] 0,1% es muss nich genau 0,1 % sein und somit is eine messung von 10^-3
meine meinung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Fr 20.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo murmel.
In all deinen Rechnungen vergisst du, dass es sich um eine "Präzissionsmessung der GESCHWINDIGKEIT" handeln soll.
Geschwindigkeiten sind IMMER nur als Durchschnittsgeschw. messbar. je kleiner die Zeit, dest genauer misst man die "Momentangeschwindigkeit" Es kommt also auf den Text der Aufgabe an!
Erwartet wird eine Auftreffgeschw. von 14m/s 0,1% davon (ohne Dreisatz!! Herr Lehrer) sind 0.014m/s
bei einer Beschleunigung von [mm] a=10m/s^2 [/mm] ist die in der Zeit 0.0014s erreicht. In der Zeit legt das Ding einen Weg von ca. 14m/s*0.0014s=0.0196m zurück.
(genauer zu rechnen bringt nichts, nur 9,8 stat 10 für g vielleicht.
Also darf die Schranke für t2 höchstens 2cm höher liegen!
Wie oben berechnet, muss man dabei noch Zeitdifferenzen von 0.0014 richtig messen können, also muss die Zeitmessung auf [mm] 10^{-5} [/mm] genau sein.
Natürlich kann man v auch aus den 2 Zeitwerten berechnen indem man v=10m/2t1 und [mm] v=(10-\delta [/mm] h)/2t2 misst. Aber das war hier nicht gefragt!
Deine vielstelligen Rechnungen, mit einem Eingangswert von 9,8 bzw 9,81 (der ist auch nicht besser, da er ja vom Ort abhängt) sind sinnlos!
Die Frage war ja nach der Genauigkeit der Geschwindigkeitsmessung!
So, auf jeden Fall wäre das meine Rechnung, sie entspricht dem Vorgehen bei einer Überlegung zu einem Versuchsaufbau! (und das ist für Lehrer wichtig, auch wenn man in der Schule froh ist bei 3% Fehler! 
Gruss leduart
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