Familie der magischen Quadrate < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper n [mm] \ge [/mm] 1. Eine Familie [mm] (a_{j,k})_{(j,k) \in (1,...,n)²} [/mm] von Elementen aus K heißt magisches Quadrat der Ordnung n, falls es ein c [mm] \in [/mm] K gibt mit
[mm] \summe_{j=1}^{n} a_{(j,k)} [/mm] = c für alle k [mm] \in [/mm] {1,...,n},
[mm] \summe_{k=1}^{n} a_{(j,k)} [/mm] = c für alle j [mm] \in [/mm] {1,...,n} und
[mm] \summe_{l=1}^{n} a_{(l,l)} [/mm] = c
Zeigen Sie, dass die Menge [mm] M_{n} [/mm] aller magischen Quadrate der ordnung n mit der kanonischen (punktweisen Addition) und der skalaren Multiplikation einen Vektorraum über K bilden.
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Reicht es jetzt zu zeigen, dass wenn ich ein magisches Quadrat A habe und dazu ein magisches Quadrat B addiere, dass denn ein magisches Quadrat C entsteht oder muss ich die ganzen Vektorraumaxiome nachweisen. (10 oder 11 Axiome sind das meiner Meinung nach)
LG
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> Sei K ein Körper n [mm]\ge[/mm] 1. Eine Familie [mm](a_{j,k})_{(j,k) \in (1,...,n)²}[/mm]
> von Elementen aus K heißt magisches Quadrat der Ordnung n,
> falls es ein c [mm]\in[/mm] K gibt mit
> [mm]\summe_{j=1}^{n} a_{(j,k)}[/mm] = c für alle k [mm]\in[/mm] {1,...,n},
> [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{(j,k)}[/mm] = c für alle j [mm]\in[/mm] {1,...,n}
> und
> [mm]\summe_{l=1}^{n} a_{(l,l)}[/mm] = c
> Zeigen Sie, dass die Menge [mm]M_{n}[/mm] aller magischen Quadrate
> der ordnung n mit der kanonischen (punktweisen Addition)
> und der skalaren Multiplikation einen Vektorraum über K
> bilden.
>
> Reicht es jetzt zu zeigen, dass wenn ich ein magisches
> Quadrat A habe und dazu ein magisches Quadrat B addiere,
> dass denn ein magisches Quadrat C entsteht oder muss ich
> die ganzen Vektorraumaxiome nachweisen. (10 oder 11 Axiome
> sind das meiner Meinung nach)
Wenn man alle [mm] n^2 [/mm] Elemente hintereinander zu einem
Vektor reiht, so sieht man, dass die Menge [mm] M_n [/mm] aller
"magischen" Quadrate der Ordnung n als eine Teilmenge
des [mm] K^{n^2} [/mm] betrachtet werden kann. Dort gelten selbstver-
ständlich alle Vektorraumaxiome.
Zeigen musst du also wirklich nur noch, dass die Menge [mm] M_n
[/mm]
bezüglich skalarer Multiplikation und Addition abgeschlossen
ist.
LG Al-Chw.
Bemerkung: üblicherweise verlangt man von "magischen
Quadraten", dass auch die zweite Diagonalsumme den
Wert c ergibt, also:
[mm] $\blue{\summe_{t=1}^{n} a_{(t,n+1-t)}\,=\,c}$
[/mm]
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also reicht es zusagen:
[mm] \summe_{j=1}^{n} a_{(j,k)} [/mm] + [mm] \summe_{j=1}^{n} b_{(j,k)} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} (a_{(j,k)} [/mm] + [mm] b_{(j,k)} [/mm] )
und das für alle 3 Formeln zu sagen?..aber das wäre doch etwas einfach oder?...
Wie kann man das aber sonst anders machen?
LG
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> also reicht es zusagen:
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> [mm]\summe_{j=1}^{n} a_{(j,k)}[/mm] + [mm]\summe_{j=1}^{n} b_{(j,k)}[/mm] =
> [mm]\summe_{j=1}^{n} (a_{(j,k)}[/mm] + [mm]b_{(j,k)}[/mm] )
>
> und das für alle 3 Formeln zu sagen?..aber das wäre doch
> etwas einfach oder?...
>
> Wie kann man das aber sonst anders machen?
>
> LG
Die Aufgabe ist einfach. Du solltest aber die zu
den Quadraten gehörigen Konstanten [mm] (c_1, c_2,...)
[/mm]
schon auch mit ins Spiel bringen. Und ferner:
nicht nur die Addition, sondern auch die Multipli-
kation mit einem Faktor behandeln.
LG
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Aber wie kann ich denn die Faktoren [mm] c_{1} [/mm] und soweiter einbauen?
ja für die multiplikation habe ich:
x [mm] \in [/mm] K * [mm] \summe_{j=1}^{n} a_{(j,k)}= \summe_{j=1}^{n} [/mm] x * [mm] a_{(j,k)}
[/mm]
das habe ich auch wieder für die 3 Formelns so gemacht...also immer mal x genommen...
aber da mache ich mir das doch zu einfach...stell ich da nicht nur behauptungen auf und muss das noch beweisen?
LG
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Zeigen wir mit diesen formeln überhaupt den Beweis oder nur die Wohldefiniertheit?
LG
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> Zeigen wir mit diesen Formeln überhaupt den Beweis oder
> nur die Wohldefiniertheit?
>
> LG
Wenn man gezeigt hat, dass die Menge [mm] M_n [/mm] der magischen
Quadrate der Ordnung $n$, welche eine Teilmenge des
Vektorraums [mm] \mathbb{K}^{n\times n} [/mm] aller [mm] n\times{n} [/mm] - Matrizen über [mm] \mathbb{K} [/mm] bilden,
bezüglich Linearkombination abgeschlossen und überdies
nicht leer ist (es soll mindestens ein magisches Quadrat
existieren), so muss [mm] M_n [/mm] ein Unterraum von [mm] \mathbb{K}^{n\times n} [/mm] sein.
Gruß Al
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> Aber wie kann ich denn die Faktoren [mm]c_{1}[/mm] und soweiter
> einbauen?
>
> ja für die multiplikation habe ich:
> [mm]\underbrace{x}_{\in K} * \summe_{j=1}^{n} a_{(j,k)}= \summe_{j=1}^{n}x * a_{(j,k)}[/mm]
>
> das habe ich auch wieder für die 3 Formeln so
> gemacht...also immer mal x genommen...
>
> aber da mache ich mir das doch zu einfach...stell ich da
> nicht nur behauptungen auf und muss das noch beweisen?
>
> LG
Hallo,
ich stelle mir den Nachweis etwa so vor:
Seien [mm] a=(a_{j,k}) [/mm] und [mm] b=(b_{j,k}) [/mm] mit den zugehörigen
Konstanten [mm] c_a [/mm] und [mm] c_b [/mm] zwei magische Quadrate der
Ordnung n und [mm] x,y\in{\mathbb K} [/mm] .
Nun bilden wir aus a und b mittels der Faktoren
$x$ und $y$ die Linearkombination [mm] m:=(m_{j,k})=x*a+y*b [/mm] ,
also
[mm] m_{j,k}:=x*a_{j,k}+y*b_{j,k}
[/mm]
für alle [mm] (j,k)\in\{1,2,...,n\}^2 [/mm] . Dann gilt:
1.) für alle [mm] k\in\{1,2,...,n\} [/mm] :
[mm] $\summe_{j=1}^{n}m_{j,k}\ [/mm] =\ [mm] \summe_{j=1}^{n}\left(x*a_{j,k}+y*b_{j,k}\right)$
[/mm]
$\ =\ [mm] x*\underbrace{\summe_{j=1}^{n}a_{j,k}}_{c_a}\ [/mm] +\ [mm] y*\underbrace{\summe_{j=1}^{n}b_{j,k}}_{c_b}$
[/mm]
$\ =\ [mm] x*c_a+y*c_b\ [/mm] =:\ [mm] c_m$
[/mm]
2.) für alle [mm] j\in\{1,2,...,n\} [/mm] :
[mm] $\summe_{k=1}^{n}m_{j,k}\ [/mm] =\ [mm] \red{.......\ =\ .......\ =\ .......}\ [/mm] =\ [mm] c_m$
[/mm]
3.) für alle [mm] l\in\{1,2,...,n\} [/mm] :
[mm] $\summe_{l=1}^{n}m_{l,l}\ [/mm] =\ [mm] \red{.......\ =\ .......\ =\ .......}\ [/mm] =\ [mm] c_m$
[/mm]
LG Al-Chw.
[and now light the candles ]
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ich glaube wir müssen doch die ganzen Vektorraumaxiome zeigen, weil Matrizen wurden bei uns noch nicht eingeführt..dann kann ich doch gar nicht davon ausgehen das es ein Unterraum ist oder?
LG
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> ich glaube wir müssen doch die ganzen Vektorraumaxiome
> zeigen, weil Matrizen wurden bei uns noch nicht
> eingeführt..
Wie schon gesagt, kann man eine [mm] n\times{n} [/mm] - Matrix, was
ihre "vektoriellen" Eigenschaften betrifft, zu einem
Zeilenvektor der Länge [mm] l\,=\,n^2 [/mm] zusammenfassen. Und
solche habt ihr wohl schon behandelt, wenn überhaupt
von Vektorräumen über einem Körper K die Rede ist.
LG Al-Chw.
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