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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mo 31.08.2009 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Gegeben ist
[mm] x(z,t)=\frac{1}{\alpha}\integral_{0}^{z}{\beta*u(t-\frac{z-\chi}{\alpha})d\chi}
[/mm]
[mm] \alpha,\beta [/mm] sind Konstanten
mit [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich kann die folgende Lösung nicht nachvollziehen.
[mm] x(z,t)=\begin{cases} \beta*t, & \mbox{für } z-\alpha*t\ge0 \\ \beta*\frac{z}{\alpha}, & \mbox{für } z-\alpha*t\le0 \end{cases}
[/mm]
Über eine anschauliche Erklärung würde ich mich sehr freuen!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:14 Di 01.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegeben ist
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> [mm]x(z,t)=\frac{1}{\alpha}\integral_{0}^{z}{\beta*u(t-\frac{z-\chi}{\alpha})d\chi}[/mm]
> [mm]\alpha,\beta[/mm] sind Konstanten
> mit [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Ich kann die folgende Lösung nicht nachvollziehen.
> [mm]x(z,t)=\begin{cases} \beta*t, & \mbox{für } z-\alpha*t\ge0 \\ \beta*\frac{z}{\alpha}, & \mbox{für } z-\alpha*t\le0 \end{cases}[/mm]
Ich nehme an, das hier soll die Loesung sein? Das stimmt naemlich nicht ganz.
Also. Erstmal ist [mm]x(z,t)=\frac{1}{\alpha}\integral_{0}^{z}{\beta*u(t-\frac{z-\chi}{\alpha})d\chi} = \frac{\beta}{\alpha} \int_0^z u(t - \frac{z - \chi}{\alpha}) d\chi[/mm]. Nun ist der Integrand eine Treppenfunktion, d.h. der Wert des Integrales ist das Volumen (oder wenn du das Wort lieber magst: (Lebesgue-)Mass) von $[0, z]$ geschnitten mit dem Support des Integranden.
Der Integrand $u(t - [mm] \frac{z - \chi}{\alpha})$ [/mm] ist dann 1, wenn $t - [mm] \frac{z - \chi}{\alpha} \ge [/mm] 0$ ist, also wenn $z - [mm] \alpha [/mm] t [mm] \le \chi$ [/mm] ist. Der Support vom Integranden ist also $[z - [mm] \alpha [/mm] t, [mm] \infty)$.
[/mm]
Die Frage ist also: wie sieht das Schnittintervall $[0, z] [mm] \cap [/mm] [z - [mm] \alpha [/mm] t, [mm] \infty)$ [/mm] aus?
Ist $z - [mm] \alpha [/mm] t [mm] \le [/mm] 0$, so ist der Schnitt $[0, z]$, und dieser hat das Volumen $z$. In dem Fall ist also $x(z, t) = [mm] \frac{\beta}{\alpha} \cdot [/mm] z$.
Ist $z - [mm] \alpha [/mm] t [mm] \ge [/mm] 0$ und $z - [mm] \alpha [/mm] t [mm] \le [/mm] z$, so ist der Schnitt $[z - [mm] \alpha [/mm] t, z]$, und dieser hat das Volumen [mm] $\alpha [/mm] t$. In diesem Fall ist also $x(z, t) = [mm] \frac{\beta}{\alpha} \cdot \alpha [/mm] t = [mm] \beta [/mm] t$.
Bleibt der Fall $z - [mm] \alpha [/mm] t > z$, also [mm] $\alpha [/mm] t < 0$. In dem Fall ist der Schnitt [mm] $\emptyset$, [/mm] womit $x(z, t) = [mm] \frac{\beta}{\alpha} \cdot [/mm] 0 = 0$ ist.
Die Loesung lautet also $x(z, t) = [mm] \begin{cases} \frac{\beta}{\alpha} z & \text{fuer } z - \alpha t \le 0, \\ \beta t & \text{fuer } 0 \le z - \alpha t \le z, \\ 0 & \text{fuer } z - \alpha t > z \Leftrightarrow \alpha t < 0 \end{cases}$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Di 01.09.2009 | | Autor: | bigalow |
Wow super erklärt! Vielen, vielen Dank :)
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