Faltung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Ich habe gerade versucht, die Assoziativität der Faltung zu zeigen. Das ist sicher ganz einfach, aber irgendwie bekomme ich das nicht hin.
Also: zu zeigen ist: [mm] f\*(g\*h)=(f\*g)\*h
[/mm]
Ich habe schon aufgeschrieben:
[mm] f\*(g\*h)(x) [/mm] = [mm] \integral{f(y)(g\*h)(x-y)dy} [/mm] = [mm] \integral{f(y)\integral{g(z)h(x-y-z)dz}\;dy}
[/mm]
und
[mm] (f\*g)\*h(x) [/mm] = [mm] \integral{(f\*g)(y)h(x-y)dy} [/mm] = [mm] \integral{\integral{f(z)g(y-z)dz}\;h(x-y)dy}
[/mm]
So, und jetzt muss man da irgendwie was ersetzen, so was wie a=x-y oder so, ich weiß nur nicht genau, wie und überhaupt. Könnte mir das jemand kurz sagen?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Also: zu zeigen ist: [mm]f\*(g\*h)=(f\*g)\*h[/mm]
>
> Ich habe schon aufgeschrieben:
> [mm]f\*(g\*h)(x)[/mm] = [mm]\integral{f(y)(g\*h)(x-y)dy}[/mm] =
> [mm]\integral{f(y)\integral{g(z)h(x-y-z)dz}\;dy}[/mm]
> und
> [mm](f\*g)\*h(x)[/mm] = [mm]\integral{(f\*g)(y)h(x-y)dy}[/mm] =
> [mm]\integral{\integral{f(z)g(y-z)dz}\;h(x-y)dy}[/mm]
>
> So, und jetzt muss man da irgendwie was ersetzen, so was
> wie a=x-y oder so, ich weiß nur nicht genau, wie und
> überhaupt. Könnte mir das jemand kurz sagen?
> [mm]f\*(g\*h)(x)[/mm] = [mm]\integral{f(y)(g\*h)(x-y)dy}[/mm] =
> [mm]\integral{f(y)\integral{g(z)h(x-y-z)dz}\;dy}[/mm]
Erst einmal benennen wir $y$ in $z$ und $z$ in $y$ um (das ist natürlich erlaubt, es sind ja nur Variablen) und erhalten
[mm]\integral{f(y)\integral{g(z)h(x-y-z)dz}\;dy} = \integral{f(z)\integral{g(y)h(x-z-y)dy}\;dz} [/mm].
So, und jetzt liefert die Transformation $y [mm] \mapsto [/mm] y-z$ im inneren Integral (beachte, dass die Determinante der entsprechenden Jacobimatrix gleich $1$ ist und daher hier keine Rolle spielt):
[mm]\integral{f(z)\integral{g(y)h(x-z-y)dy}\;dz} = \integral{f(z)\integral{g(y-z)h(x-y)dy}\;dz}[/mm].
So, und jetzt brauchen wir nur noch den Satz von Fubini anzuwenden:
[mm]\integral{f(z)\integral{g(y-z)h(x-y)dy}\;dz} = \integral{\integral{f(z)g(y-z)dz}\;h(x-y)dy}[/mm].
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Danke - das ist soweit glaube ich klar.
Jetzt habe ich es mal mit der Distributivität versucht:
[mm] f\*(g+h)(x) [/mm] = [mm] \integral{f(y)(g+h)(x-y)dy}
[/mm]
und
[mm] (f\* g)(x)+(f\*h)(x) [/mm] = [mm] \integral{f(y)g(x-y)dy}+\integral{f(y)h(x-y)dy} [/mm] = [mm] \integral{f(y)(g(x-y)+h(x-y))dy}
[/mm]
Ist das jetzt schon direkt das Gleiche?
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Kurze Antwort: Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Denn für alle $z [mm] \in \IR^d$ [/mm] gilt ja:
$(g+h)(z) = g(z) +h(z)$
nach Definition (von $g+h$).
Und hier ist $z=x-y$.
Liebe Grüße
Stefan
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![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
