Faktorraum: Kern(f) = U? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hi,
Ich habe gerade einige Probleme genau zu verstehen was mit einem Faktorraum gemeint ist.
Und zwar macht mir genau folgende Aussage zu schaffen:
"Die Abbildung f: V [mm] \to [/mm] V/U mit f(v) := v + U ist ein Epimorphismus mit Kern(f) = U."
Wobei V ein K-Vektorraum (v [mm] \in [/mm] V) und U ein Teilraum von V ist.
Surjektivität ist klar, da bildlich gesprochen v + U den Vektorraum V nur verschiebt. z.B. eine parallele zu einer Graden. Linearität ist schnell bewiesen, soweit auch kein Problem.
Aber wieso gilt f(U) = 0?
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Hallo Pille,
> Hi,
> Ich habe gerade einige Probleme genau zu verstehen was mit
> einem Faktorraum gemeint ist.
> Und zwar macht mir genau folgende Aussage zu schaffen:
> "Die Abbildung f: V [mm]\to[/mm] V/U mit f(v) := v + U ist ein
> Epimorphismus mit Kern(f) = U."
> Wobei V ein K-Vektorraum (v [mm]\in[/mm] V) und U ein Teilraum von
> V ist.
> Surjektivität ist klar, da bildlich gesprochen v + U den
> Vektorraum V nur verschiebt. z.B. eine parallele zu einer
> Graden. Linearität ist schnell bewiesen, soweit auch kein
> Problem.
> Aber wieso gilt f(U) = 0?
Ist dir klar, dass $U$ neutral in $V/U$ ist?
Für [mm] $u\in [/mm] U$ ist ja $u+U$ wieder in $U$
Was passiert also mit einem Element [mm] $u\in [/mm] U$, wenn du f drauf loslässt?
Das wird abgebildet auf $u+U=U$ und das ist neutral in $V/U$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hmm ja das ist klar,
also kann man erstmal festhalten f(U) = u + U = U = U + 0, also v = 0 in diesem Fall.
Die Definition des Kernes besagt doch f(x) = 0 mit x [mm] \in [/mm] V. Bei f(U) = U + v mit v = 0 ist doch aber nur v = 0 und nicht U....
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Hallo nochmal,
ui, ich sehe das Problem.
Der KErn(f) ist die Menge aller Vektoren aus V, die auf das neutrale Element in V/U abgebildet werden.
Dieses neutrale Element ist U!!
Es ist etwas lachs mit 0 bezeichnet bei dir, daher bestimmt die Verwirrung ...
Es werden alle Elemente aus U unter f auf u+U abgebildet, aber u+U ist U (denn U ist ja addit. Gruppe)
[mm] $u+U=\{u+u'\mid u'\in U\}=U$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Ahh ja, jetzt ergibt es Sinn, so gesehen ja recht einfach.
Danke! :)
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