Faktorisierung x^4+1 < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Angeblich (hab ich in diesem Forum gelesen) kann man jedes Polynom in ein Produkt aus rellen Linearfaktoren und unzerlegbaren quadratischen Faktoren zerlegen. Aber wie zerlegen ich [mm] x^4+1 [/mm]
Die Lösung kenne ich dank meinem CAS:
[mm] (x^2+sqrt(2)x+1)*(x^2-sqrt(2)x+1) [/mm]
Eine Substitution hab ich schon versucht, es ging nicht. Kann man sowas nur theoretisch zerlegen, oder auch praktisch? |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Mi 02.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Angeblich (hab ich in diesem Forum gelesen) kann man jedes
> Polynom in ein Produkt aus rellen Linearfaktoren und
> unzerlegbaren quadratischen Faktoren zerlegen. Aber wie
> zerlegen ich [mm]x^4+1[/mm]
>
> Die Lösung kenne ich dank meinem CAS:
> [mm](x^2+sqrt{2}x+1)*(x^2-sqrt(2)x+1)[/mm]
>
> Eine Substitution hab ich schon versucht, es ging nicht.
> Kann man sowas nur theoretisch zerlegen, oder auch
> praktisch?
Was soll das heißen ? Du hast doch eine tadellose Zerlegung:
[mm](x^2+\sqrt{2}x+1)*(x^2-\sqrt{2}x+1)=x^4+1[/mm]
Was willst Du mehr ?
FRED
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| Aufgabe | Was ich noch mehr will? Na vielleicht eine Antwort auf meine Frage? Aber ich tippe sie speziell für dich nochmal ab:
Geht das nur numerisch (per Computer) oder gibt es da auch einen Lösungsweg?
Eine Substitution führt zur Zerlegung (x²+i)(x²-i), aber nicht zu dem Ergebnis, welches mein Computer numerisch berechnet. |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Mi 02.02.2011 | | Autor: | pyw |
Hi,
immer die Ruhe bewahren 
Die Faktorisierung in quadratische Polynome läuft letztendlich auf eine Art Nullstellenberechnung zurück. Zu jeder komplexen Nullstelle z ist auch [mm] \overline{z} [/mm] Nullstelle, wodurch sich die quadratischen Polynome jeweils zu [mm] (x-z)(x-\overline{z}) [/mm] ergeben (falls [mm] z\neq\overline{z}). [/mm] Für die Nullstellenberechnung gibt es jedoch nur für Polynome vom Grad höchstens 4 exakte Lösungsformeln. Ist der Grad [mm] \geq [/mm] 5, so gibt es keine Lösungsformel (ein Beweis dafür stammt von Abel). Da kann man dann eben nur noch in Spezialfällen nicht numerisch vorgehen.
Meistens hilft Raten aber auch schon ganz gut.
Gruß, pyw
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Mi 02.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Was ich noch mehr will? Na vielleicht eine Antwort auf
> meine Frage? Aber ich tippe sie speziell für dich nochmal
> ab:
Ich finde es prima, dass sich ein Rotzlöffel als solcher erkennt , und das durch einen passenden Nickname dokumentiert.
Glückwunsch
http://de.wikipedia.org/wiki/Rotzlöffel
Ebenfalls aus Wikipedia:
"Es wird diskutiert, ob eine Behandlung von Psychopathen sinnvoll ist. In der Regel findet sie im Strafvollzug statt, in Deutschland in entsprechenden sozialtherapeutischen Einrichtungen. Die meisten Therapieprogramme sind heutzutage verhaltenstherapeutisch und kognitiv-behavioral ausgerichtet. Es wird darüber berichtet, dass Psychopathen unterschiedlich gut auf Therapie ansprechen. Teilweise wird auch eine erhöhte Rezidivrate nach Therapie berichtet. Generell gilt, dass Psychopathen schwerer zu therapieren sind als nichtpsychopathische Straftäter.. Aus neurobiologischer Sicht werden die Transkranielle Magnetstimulation und pharmakologische Methoden vorgeschlagen, wenngleich beide Methoden noch nicht näher erforscht worden sind."
FRED
>
> Geht das nur numerisch (per Computer) oder gibt es da auch
> einen Lösungsweg?
>
> Eine Substitution führt zur Zerlegung (x²+i)(x²-i), aber
> nicht zu dem Ergebnis, welches mein Computer numerisch
> berechnet.
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> Was ich noch mehr will? Na vielleicht eine Antwort auf
> meine Frage? Aber ich tippe sie speziell für dich nochmal
> ab:
Hallo,
eine ziemlich ungehörige Reaktion...
Die Frage
> > > Kann man sowas nur theoretisch zerlegen, oder auch praktisch?
ist im Zusammenhang mit der geposteten, also definitiv vorhandenen Zerlegung [mm] x=(x^2-\sqrt{2}+1)(x^2+\sqrt{2}+1) [/mm] zunächst völlig unverständlich - was an folgendem liegt:
unter "nur theoretisch zerlegen" würde man aus Mathematikersicht verstehen, daß es einen Existenzbeweis für eine Zerlegung gibt, man die Zerlegung aber nicht explizit angeben kann.
Du aber hast eine Zerlegung explizit angegeben. Eine exakte Zerlegung, nicht etwa eine Näherung, was man leicht nachrechnet.
Die Frage, die dem, was Du wissen möchtest, wohl am nächsten kommt, ist diese:
wie kann ich das per Hand ausrechnen?
Das hätte gewiß auch Fred gut verstanden.
> Eine Substitution führt zur Zerlegung (x²+i)(x²-i), aber
> nicht zu dem Ergebnis, welches mein Computer numerisch
> berechnet.
Wenn Du gut genug mit komplexen Zahlen rechnen kannst, kommst Du hier sogar auch weiter.
Die Lösungen der Gleichungen [mm] x^2+i=0 [/mm] und [mm] x^2-i=0 [/mm] liefern Dir eine Zerlegung von [mm] x^4+1 [/mm] in Linearfaktoren, und wenn Du jeweils die beiden Linearfaktoren mit den zueinander komplex-konjugierten Zahlen miteinander multiplizierst, solltest Du genau die beiden quadratischen Polynome der Zerlegung bekommen, welche Dein Rechner Dir geschenkt hat.
Andere Vorgehensweise:
wenn Du dem eingangs zitierten Satz von der Zerlegung in reelle Linearfaktoren und unzerlegbare quadratische Faktoren glaubst, dann kannst Du auch so vorgehen:
zunächst einmal stellt man fest, daß [mm] x^4+1 [/mm] keine reelle Nullstelle hat.
Also scheidet die Abspaltung eines Linearfaktors schonmal aus, was bedeutet, daß Du es mit zwei quadratischen Polynomen zu tun hast.
Du könntest also ansetzen
[mm] x^4+1= (x^2+ax+b)(x^2+cx+d),
[/mm]
und solltest Dir die Koeffizienten mithilfe eines Koeffizientenvergleichs erobern können.
Z.B. in www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/viertergrad.pdf wird ein Lösungsweg für die Nullstellenbestimmung der allgemeinen Gleichung 4. Grades vorgestellt, den für Gleichungen 3. Grades findet man u.a. im Bronstein, den für Gleichungen 2. Grades kann jeder,
und wie Dir pyw bereits gesagt hat, gibt es ab dem 5. Grad nur noch für Spezialfälle Lösungsformeln.
Von allg. Gleichungen 5. Grades wissen wir also, daß man sie "theoretisch" zerlegen kann, daß aber außer in Spezialfällen die Zerlegung nur numerisch gelingt, also mit Näherungsverfahren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Mo 23.05.2011 | | Autor: | Cer |
Hallo,
wie sieht das ganze denn aus, wenn die Funktion f(x)= [mm] x^3+1 [/mm] ist?
Weiß nicht, wie ich das zerlegen müsste, könnte mir da jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Mo 23.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Cer!
Führe eine  Polynomdivision mit $(x+1)_$ durch.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Mo 23.05.2011 | | Autor: | Cer |
Alles klar, Danke. War zu einfach um direkt drauf zu kommen
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