Fahnenvarietät < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei F:= [mm] (U_{1},...U_{n}|U_{i} [/mm] Unterraum von [mm] k^{n} [/mm] der Dimension i, [mm] U_{i} \subset U_{i+1} [/mm] ) die sogenannte Fahnenvarietät
a) G = [mm] GL_{n} [/mm] operiert auf F via [mm] g*(U_{1}...U_{n}):= (gU_{1}...gU_{n}) [/mm] transitiv
b) Der Stabilisator der Standardfahne [mm] F_{0}:= (,...) [/mm] ist die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen [mm] T_{n}
[/mm]
c) Es gibt eine Bijektion [mm] Gl_{n}/T_{n} [/mm] isomorph zu [mm] F_{n} [/mm] |
Hallo meine kompetenten Leidensgenossen,
Also die Aufgabe stellt mich vor große Rätsel. Dieses ganze Thema zu Gruppentheorie ist schon nicht einfach, aber die Aufgaben dazu sind bei uns der Oberhammer.
zu a) Wie zeige ich denn, dass das transitiv operiert?
zu b) wie sieht denn die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen aus und wie zeigt man dieses dann?
zu c) bin ich sowieso schon ratlos
 :-(
Ein paar Tipps eurer seits wären super
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Hallo Wup,
es soll doch sicher F die Menge aller solcher Tupel sein:
[mm] F:=\{(U_{1},...U_{n})\:\:|\:\: für\: i=1,\ldots n\:\: ist\:\: U_{i}\:\:Unterraum\:\: von \:\:k^{n}\:\: der Dim.\:\: i,\:\: U_{i} \subset U_{i+1}\: (1\leq i
> Dimension i, [mm]U_{i} \subset U_{i+1}[/mm] ) die sogenannte
> Fahnenvarietät
> a) G = [mm]GL_{n}[/mm] operiert auf F via [mm]g*(U_{1}...U_{n}):= (gU_{1}...gU_{n})[/mm]
> transitiv
Das heißt doch per def. von Transitivität: Zu jedem [mm] (U_1,\ldots [/mm] , [mm] U_n)\in [/mm] F und jedem [mm] (V_1,\ldots [/mm] , [mm] V_n)\in [/mm] F gibt es ein [mm] g\in GL_n [/mm] mit
[mm] g(U_1)=V_1,\ldots g(U_n)=V_n
[/mm]
Nun, da [mm] dim(U_1)=dim(V_1)=1, [/mm] sind sie isomorph, sei [mm] g_1 [/mm] ein Isomorphismus.
Sei nun schon ein Isomorphismus [mm] g_i [/mm] für [mm] U_i, V_i [/mm] konstruiert.
Dann gilt ja [mm] dim(V_{i+1}\slash V_i)=dim(U_{i+1}\slash U_i)=1, [/mm] sie sind also isomorph, sagen wir via einem [mm] G_{i+1}.
[/mm]
Dieses [mm] G_{i+1} [/mm] induziert dann zusammen mit [mm] g_i [/mm] einen Isomorphismus [mm] g_{i+1} [/mm] zw. [mm] U_{i+1} [/mm] und [mm] V_{i+1} [/mm] vermöge
[mm] g_{i+1}| U_i=g_i
[/mm]
[mm] g_{i+1}(u+u'):= g_i(u)+ G_{i+1}( [/mm] [u']), wobei [mm] u\in U_i, u\in U_{i+1}\setminus U_i
[/mm]
Du kannst auch elementar so argumentieren, dass Du über Basiserweiterung Mengen
[mm] \{u_1,\ldots , u_n\}
[/mm]
und
[mm] \{v_1,\ldots , v_n\} [/mm] so wählst, dass für jedes [mm] i\in\{1,\ldots n\}
[/mm]
[mm] \{u_1,\ldots , u_i\} [/mm] Basis von [mm] U_i,
[/mm]
analog für die [mm] V_i,
[/mm]
und dann einfach [mm] g(u_i)=v_i [/mm] setzt.
Gruss,
Mathias
> b) Der Stabilisator der Standardfahne [mm]F_{0}:= (,...)[/mm]
> ist die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen [mm]T_{n}[/mm]
> c) Es gibt eine Bijektion [mm]Gl_{n}/T_{n}[/mm] isomorph zu [mm]F_{n}[/mm]
> Hallo meine kompetenten Leidensgenossen,
>
> Also die Aufgabe stellt mich vor große Rätsel. Dieses ganze
> Thema zu Gruppentheorie ist schon nicht einfach, aber die
> Aufgaben dazu sind bei uns der Oberhammer.
> zu a) Wie zeige ich denn, dass das transitiv operiert?
> zu b) wie sieht denn die Gruppe der oberen
> Dreiecksmatrizen aus und wie zeigt man dieses dann?
> zu c) bin ich sowieso schon ratlos
> :-(
>
> Ein paar Tipps eurer seits wären super
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Do 18.05.2006 | | Autor: | Geddie |
hallo, hab mal ne frage zu deiner lösung mathias.
was ist denn dieses V [mm] \in [/mm] F?? Kann damit gar nichts anfangen bzw. weiss gar nicht was das sein soll?
mfg
gerd
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Moin Gerd,
meinst Du die Stelle, wo bei sowas wie [mm] (V_1,\ldots [/mm] , [mm] V_n)\in [/mm] F das
[mm] ''V_n )\:\in [/mm] F'' in die nächste Zeile gerutscht ist ? 
Sorry !!!
Es gibt Leute im MatheRaum, die jetzt noch schlafen (wollen) und aber nicht müde werden, mich
von dem Vorteil des ''Vorschau''-Buttons überzeugen zu wollen ....
Gruss, auch an all diejenigen !
Mathias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Di 16.05.2006 | | Autor: | neli |
Ich glaub ich habs was einfacher hoffe es ist dennoch richtig
zu a)
transitiv heißt doch es gibt nur eine Bahn das heißt du nimmst dir einfach eine beliebige Fahne und zeigst, dass die in der Bahn der Standartfahne liegt (kannst auch eine andere nehmen aber die ist so schön einfach *g*)
dazu musst du glaube ich einfach nur ein g aus GLn konstruieren, so dass
[mm] g*F_o [/mm] = F ist d.h. [mm] (,) [/mm] = ( [mm] ,
b) einfach nachrechnen nimm dir mal eine obere Dreiecksmatrix un multiplizier die mit einem Einheitsvektor und schau was rauskommt
dann müsstest du nur noch zeigen, dass die enstprechenden Vektoren noch l.u. sind
c) Bahnenlemma!
hoffe das hilft dir weiter
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