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Hallo ihr Lieben, ich bins mal wieder!
Habe mal wieder eine von diesen wunderschönen Extremwertaufgaben auf und komme nicht weiter! Allerdings muss ich sagen,dass ich allgemein auf dem Gebiet ein klitzekleines bisschen besser geworden bin...jetzt kommt unsere Lehrerin allerdings mit cos und sin daher und ich stehe da wie doof und habe wieder keinen Plan von gar nichts! Aber nun zu der Aufgabe:
Zwei Holzbretter werden so aneinander geschraubt(oder nur gelegt oder sonst irgendwas) dass sie eine Rinne egeben...also die Form eines "V" annehmen! Der Flächeninhalt dieser Rinne soll maximal werden, für die beiden Seiten "a" ist eine Länge von jeweils 15cm angegeben, die offene Seite dieses Dreiecks haben wir mit "c" bezeichnet! Der Winkel [mm] \alpha [/mm] ist unbekannt.
So,nun habe ich schon den Winkel [mm] \alpha [/mm] geteilt und den einen Teil davon [mm] \beta [/mm] benannt. Der cos davon ist ja die Ankathete geteilt durch die Hypothenuse also "h/a"
sin von a/2 ist die Gegenkathete geteilt durch die Hypothenuse und damit "c/2 /a"
Aber wie kann ich denn nun mit diesen Angaben weiterrechnen???
Freue mich auf jede noch so kleine Hilfe und danke euch schon einmal ganz lieb im Voraus!
Bis dann, Eure BlackDevil
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo BlackDevil Anja,
Erstmal: was suchst du ? Den Winkel [mm]\alpha[/mm]. Und zwar genau den, der die Fläche des Dreiecks maximiert. D.h. wir brauchen erstmal eine Funktion, die die Fläche des Dreiecks in Abhängigkeit von [mm]\alpha[/mm] darstellt. OK, erster Schritt: Fläche eines Dreiecks,
[mm]A=1/2*c*h[/mm] Sehr schön hast du schon gesehen, dass wegen der Gleichschenkligkeit des Dreiecks die Höhe auch die Winkelhalbierende ist, und auch die Seitenhalbierende. Also können wir schreiben (Pythagoras):
[mm]a^2=h^2+(c/2)^2 \Rightarrow h=\wurzel{15^2-c^2/4}[/mm]
Jetzt brauchen wir nur noch c in Abhängigkeit von [mm]\alpha[/mm] auszudrücken. Das hast du auch schon gemacht! Also [mm]c=2a*\sin(\alpha /2)[/mm]
OK, jetzt alles zusammengesetzt:
[mm]A=f(\alpha)=1/2*(2a*\sin(\alpha /2))*\wurzel{15^2-(2a*\sin(\alpha /2))^2/4}=15*\sin(\alpha /2)*\wurzel{225-225*\sin^2(\alpha /2)}=15*\sin(\alpha /2)*15*\wurzel{1-\sin^2(\alpha /2)}[/mm]
Es ist ja [mm]1=\sin^2(\alpha /2)+\cos^2(\alpha /2)[/mm] Deshalb vereinfacht sich das zu [mm]f(\alpha)=225*\sin(\alpha /2)*\wurzel{\cos^2(\alpha /2)}[/mm] Und da uns nur Werte von alpha zwischen 0 und 180°, also von 0 bis 90° von alpha/2 interessieren und der cos in diesem Bereich positiv ist, können wir schreiben
[mm]f(\alpha)=225*\sin(\alpha /2)*\cos(\alpha /2) [/mm]
Das sieht doch schon schöner aus! Diese Funktion jetzt schön mit Produktregel etc. ableiten und so den Hochpunkt errechnen. Falls noch was unklar ist, bitte fragen!
mfg
Daniel
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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