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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Mi 17.05.2006 | | Autor: | NaXiL |
| Aufgabe | | Zerlege die natürliche Zahl a in zwei Summanden, so dass die Summe ihrer Quadrate minimal wird |
hi,
ich hab ein problem mit dieser aufgabe...
ich hab schon ansätze aber weiß nich weiter....vllt könnt ihr mir ja helfen, ich schreib morgen eine matheklausur....
I. x+y=a |-x
y=a-x
II. x²+y²= minimale Summe
2x+2y= minimale Summe'
wenn ich jetzt den Term von oben (y=a-x)
in die erste ableitung einsetze bekomm ich ja nich viel raus, oder bringt mir das was?
2x+2(a-x)=S'min
2x+2a-2x=S'min
2a = S'min
wie komm ich denn jetzt weiter? oO
vielen dank im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo NaXiL!
Deine Ansaätze sind doch schon gut ... Du musst lediglich die Nebenbedingung $y \ = \ a-x$ in die Hauptbedingung einsetzen, um eine Funktion mit nur noch einer Variablen zu erhalten:
> I. x+y=a |-x
> y=a-x
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> II. x²+y²= minimale Summe
Das ist also unsere Summenfunktion (die Hauptbedingung), die noch von 2 Variablen abhängig ist:
$S(x;y) \ = \ [mm] x^2+y^2$
[/mm]
Durch Einsetzen der Nebenbedingung reduzieren wir die Variablen auf eine:
[mm] $S_a(x) [/mm] \ = \ [mm] x^2+(a-x)^2$
[/mm]
Und für diese Funktion [mm] $S_a(x)$ [/mm] ist nun die Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) durchzuführen.
Was erhältst Du?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mi 17.05.2006 | | Autor: | NaXiL |
wie meinst du das? also was mach ich jetzt mit der gleichung : S(x)=x²+(a-x)² ?
davon ableitungen bilden? und nullsetzen?
so?:
S(x)=x²+(a-x)²
S'(x)=2x+2(a-x)*-1
0=2x-2a+x
0=3x-2a
2a=3x
2/3a=x
das setz ich dann in die ausgangsgleichung x+y=a ?
dann würde das rauskommen:
2/3a+y=a | * 1/a
2/3 + y=0
y=-2/3
stimmt das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mi 17.05.2006 | | Autor: | NaXiL |
> Bitte Klammern um die [mm]-1_[/mm] am Ende setzen: [mm]S'(x) \ = \ 2x+2*(a-x)*\red{(}-1\red{)}[/mm]
>
>
> > 0=2x-2a+x
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier hast Du einmal den Faktor [mm]2_[/mm] unterschlagen,
> der vor der Klammer steht:
>
> [mm]0 \ = \ 2x+2*(a-x)*(-1) \ = \ 2x+2*(x-a) \ = \ 2x+\red{2}x-2a \ = \ 4x-2a[/mm]
> ehm... du hast einfach die (-1) unterschlagen... also das heißt : 2x-2*(a-x)
und dann kommt doch da raus: 0=2x-2*a-2*(-x)
0=2x-2a+2x
0=-2a
stimmt das oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo NaXiL!
> > [mm]0 \ = \ 2x+2*(a-x)*(-1) \ = \ 2x+2*(x-a) \ = \ 2x+\red{2}x-2a \ = \ 4x-2a[/mm]
>
> ehm... du hast einfach die (-1) unterschlagen... also das heißt :
> 2x-2*(a-x) und dann kommt doch da raus: 0=2x-2*a-2*(-x)
Dein Ergebnis stimmt. Meins allerdings auch: Ich hatte das $(-1)_$ derart berücksichtigt, indem ich die beiden Terme in der Klammer umgedreht habe: von $(a-x)_$ zu $(x-a)_$ .
> 0=2x-2a+2x
> 0=-2a
Hier formst Du falsch um. Wir haben doch:
$0 \ = \ 2x-2a+2a \ = \ 4x-2a$
Nun mal auf beiden Seiten $+ \ 2a$ rechnen und anschließend durch $4_$ teilen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Mi 17.05.2006 | | Autor: | NaXiL |
ok danke ich habs verstanden, hab auch n ergebniss raus, vielen dank, gute hilfe
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