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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Fr 16.09.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Komme bei folgendem Beispiel nicht weiter:
bestimmen sie die lokalen Maxima und Minima der Funktion f(w,x,y,z) = w + x + y + z unter den Nebenbedingungen [mm] w^3 [/mm] + w [mm] +x^3 [/mm] + x = 4 und [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = 1 und prüfen sie welche der Punkte Minima und welche Maxima sind.
Nun ist es ja nicht weiter schwierig sich mittels Lagrange Parameter die beiden Punkte [mm] (1,1,1/\wurzel{2}, 1/\wurzel{2}) [/mm] und [mm] (1,1,-1/\wurzel{2}, -1/\wurzel{2}) [/mm] zu bestimmen.
Nur wie finde ich jetzt heraus, welcher Punkt Minimum und welcher Maximum ist??
Sich aus den Nebenbedingungen zwei Veränderliche zu eliminieren ist ja leider nicht möglich.
Deshalb hatte ich vor, die Funktion in Abhängigkeit von x und y als f (w(x),x,y,z(y)) = w(x) + x + y + z(y) anzunehmen.
Anschließend leite ich diese Funktion formal zweimal nach x und y ab. Hieraus erhalte ich: f_xx = w(x)'' und f_yy = z(y)'';
diese beiden Funktionen wollte ich mir jetzt aus den NB ausdrücken indem ich wieder formal nach x und y einmal und zweimal ableite und umforme, das liefert für z: z(y)' = - y/z und z(y)''= - [mm] (1+(z(y)')^2) [/mm] / z; setze ich nun in die zweite Ableitung die erste ein, so müsste ich eigentlich mein Ergebnis haben, was jedoch nicht der Fall ist, da z dadurch nicht eliminiert wird.
Ist mein Ansatz absoluter Schwachsinn, oder habe ich wo einen Fehler bei der Rechnung?? Ist es überhaupt nötig, so kompliziert vor zu gehen??
Vielen Dank für jeden Tipp!
mfg.
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Hi!
Ich denke, hier wirst Du über die Definitheit der Hessematrix argumentieren müssen. Lies dazu auch hier: ![[]](/images/popup.gif) Hessematrix bei Wikipedia.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Sa 17.09.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Ja, das ist schon klar. Dafür will ich ja auch die zweiten Ableitungen bilden. Jedoch wieß ich nicht wie ich zu diesen Ableitungen kommen soll.
Ich kann ja nicht einfach nur die Funktion nach alllen vier Veränderlichen ableiten und dann die Definitheit überprüfen, sondern ich muss hierbei meine Nebenbedingungen ja auch einbauen. Jedoch ist ein explizites Auflösen der Nebenbedingungen nicht möglich und darin liegt das Problem.
Wie kann ich die Nebenbedingungen mit berücksichtigen, wenn ich sie nicht direkt in meine Gleichung einbauen kann??
mfg.
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Hallo Skydiver,
> Ja, das ist schon klar. Dafür will ich ja auch die zweiten
> Ableitungen bilden. Jedoch wieß ich nicht wie ich zu diesen
> Ableitungen kommen soll.
Kettenregel nochmals anwenden.
> Ich kann ja nicht einfach nur die Funktion nach alllen
> vier Veränderlichen ableiten und dann die Definitheit
> überprüfen, sondern ich muss hierbei meine Nebenbedingungen
> ja auch einbauen. Jedoch ist ein explizites Auflösen der
> Nebenbedingungen nicht möglich und darin liegt das
> Problem.
> Wie kann ich die Nebenbedingungen mit berücksichtigen,
> wenn ich sie nicht direkt in meine Gleichung einbauen
> kann??
es werden ja nur die Ableitungen der Nebenbedingungen benötigt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 So 18.09.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Vielen Dank erst mal für die Antwort, jedoch verstehe ich nicht wie du das meinst.
Weshalb werden nur die Ableitungen der Nebenbedingungen benötigt?
Ich muss ja die zweiten Ableitungen der Funktion selbst bilden und dann mit Hilfe der Definitheit der Jacobi/Hesse Matrix bestimmen um welche Art Extremum es sich handelt, aber unter Einbeziehung der Nebenbedingungen. Das ist jedoch durch direktes Umformen der zwei NB auf zwei der vier Veränderlichen nicht möglich ist, da sie nicht explizit angebbar sind.
Natürlich kann ich mit Hilfe der Kettenregel die zweiten Ableitungen der Funktion bilden, jedoch sind dann die NB nicht einbezogen.
Bitte um nähere Erläuterung, wie das gemeint war.
Vielen Dank, mfg.
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Hallo Skydiver,
> Hallo.
>
> Vielen Dank erst mal für die Antwort, jedoch verstehe ich
> nicht wie du das meinst.
> Weshalb werden nur die Ableitungen der Nebenbedingungen
> benötigt?
wie Du richtig erkannt hast, gilt
[mm]
\begin{gathered}
F_{xx} \; = \;w_{xx} \hfill \\
F_{yy} \; = \;z_{yy} \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Hier wird die Funktion [mm]F\left( {x,\;y} \right)\;: = f\left( {w(x),\;x,\;y,\;z(y)} \right)[/mm] betrachtet.
Hieraus folgt, daß nur die partiellen Ableitungen der Nebenbedingungen zur Charakterisierung des Extremums benötigt werden.
> Ich muss ja die zweiten Ableitungen der Funktion selbst
> bilden und dann mit Hilfe der Definitheit der Jacobi/Hesse
> Matrix bestimmen um welche Art Extremum es sich handelt,
> aber unter Einbeziehung der Nebenbedingungen. Das ist
> jedoch durch direktes Umformen der zwei NB auf zwei der
> vier Veränderlichen nicht möglich ist, da sie nicht
> explizit angebbar sind.
> Natürlich kann ich mit Hilfe der Kettenregel die zweiten
> Ableitungen der Funktion bilden, jedoch sind dann die NB
> nicht einbezogen.
> Bitte um nähere Erläuterung, wie das gemeint war.
Die Nebenbedingungen lauten:
[mm]N_1 \left( {w(x),\;x} \right)\; = 0[/mm]
[mm]N_2 \left( {z(y),\;y} \right)\; = 0[/mm]
Diese Nebenbedingungen werden jetzt zweimal abgeleitet:
[mm]
\begin{gathered}
\frac{\delta }
{{\delta x}}:\;\frac{{\delta N_1 }}
{{\delta w}}\;\frac{{dw}}
{{dx}}\; + \;\frac{{\delta N_1 }}
{{\delta x}}\; = \;0\; \Rightarrow \;w_x \hfill \\
\frac{{\delta ^2 }}
{{\delta x^2 }}:\;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta N_1 }}
{{\delta w}}\;\frac{{dw}}
{{dx}}\; + \;\frac{{\delta N_1 }}
{{\delta x}}} \right)}}
{{\delta w}}\;\frac{{dw}}
{{dx}}\; + \;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta N_1 }}
{{\delta w}}\;\frac{{dw}}
{{dx}}\; + \;\frac{{\delta N_1 }}
{{\delta x}}} \right)}}
{{\delta x}}\; = \;0\; \Rightarrow \;w_{xx} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Für die zweite Nebenbedingung läuft das genauso ab.
Gruß
MathePower
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