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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mi 23.06.2010 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | Berechne Art und Lage der folgenden Funktion:
$f(x,y)=x* [mm] y^3-\bruch{3}{2}x^2* [/mm] y-8x$ |
Zuerst habe ich alle benötigten Ableitungen berechnet.
[mm] \bruch{{\partial}f}{{\partial}x}=y^3-3xy-8
[/mm]
[mm] \bruch{{\partial}f}{{\partial}x^2}=-3y
[/mm]
[mm] \bruch{{\partial}f}{{\partial}xy}=3y^2-3x
[/mm]
[mm] \bruch{{\partial}f}{{\partial}y}=3xy^2-\bruch{3}{2}x^2
[/mm]
[mm] \bruch{{\partial}f}{{\partial}y^2}=6xy
[/mm]
[mm] \bruch{{\partial}f}{{\partial}y}=3y^2-3x
[/mm]
Dann habe ich den Gradienten gleich Null gesetzt:
[mm] grad(f)=\begin{cases} I: y^3-3xy-8=0 \\ II: 3xy^2-\bruch{3}{2}x^2 =0 \end{cases}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht genau wie man die Gleichungen am besten auflöst.
Ich habe Gleichung II nach x aufgelöst.
[mm] x=2*y^2
[/mm]
Das habe ich dann in Gleichung I eingesetzt und bekomme
[mm] y=\wurzel[3]{-{\bruch{8}{5}}}
[/mm]
Das ist jetzt irgendwie blöd, weil man drei Lösungen bekommt von denen zwei einen Komplexen Anteil haben.
Aber alle anderen Auflösungen sind nicht sehr viel angenehmer..
Habe ich irgendwas übersehen oder falsch aufgelöst/eingesetzt??
Oder benutzt man hier nicht die Tatsache, dass eine dritte Wurzel drei Lösungen ergibt und benutzt nur die eine Lösung (-1,1696..) die der Taschenrechner ausgibt?
Dann ist noch die Frage wie man die Art des Extremwertes rausfinden, also ob er global oder lokal ist?
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Hallo steem,
> Berechne Art und Lage der folgenden Funktion:
>
> [mm]f(x,y)=x* y^3-\bruch{3}{2}x^2* y-8x[/mm]
> Zuerst habe ich alle
> benötigten Ableitungen berechnet.
>
> [mm]\bruch{{\partial}f}{{\partial}x}=y^3-3xy-8[/mm]
> [mm]\bruch{{\partial}f}{{\partial}x^2}=-3y[/mm]
> [mm]\bruch{{\partial}f}{{\partial}xy}=3y^2-3x[/mm]
>
> [mm]\bruch{{\partial}f}{{\partial}y}=3xy^2-\bruch{3}{2}x^2[/mm]
> [mm]\bruch{{\partial}f}{{\partial}y^2}=6xy[/mm]
> [mm]\bruch{{\partial}f}{{\partial}y}=3y^2-3x[/mm]
>
> Dann habe ich den Gradienten gleich Null gesetzt:
>
> [mm]grad(f)=\begin{cases} I: y^3-3xy-8=0 \\ II: 3xy^2-\bruch{3}{2}x^2 =0 \end{cases}[/mm]
>
> Jetzt weiß ich nicht genau wie man die Gleichungen am
> besten auflöst.
> Ich habe Gleichung II nach x aufgelöst.
>
> [mm]x=2*y^2[/mm]
Aus Gleichung II erhältst Du zwei Fälle, den obengenannten
und noch einen weiteren.
>
> Das habe ich dann in Gleichung I eingesetzt und bekomme
>
> [mm]y=\wurzel[3]{-{\bruch{8}{5}}}[/mm]
>
> Das ist jetzt irgendwie blöd, weil man drei Lösungen
> bekommt von denen zwei einen Komplexen Anteil haben.
> Aber alle anderen Auflösungen sind nicht sehr viel
> angenehmer..
>
> Habe ich irgendwas übersehen oder falsch
> aufgelöst/eingesetzt??
> Oder benutzt man hier nicht die Tatsache, dass eine dritte
> Wurzel drei Lösungen ergibt und benutzt nur die eine
> Lösung (-1,1696..) die der Taschenrechner ausgibt?
Man nimmt hier nur die reelle Zahl, also die Zahl,
die der Taschenrechner ausgibt.
> Dann ist noch die Frage wie man die Art des Extremwertes
> rausfinden, also ob er global oder lokal ist?
>
>
Die Art des Extremums bestimmt man mit Hilfe der ![[]](/images/popup.gif) Hesse-Matrix.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Mi 23.06.2010 | | Autor: | steem |
Ich habe deine Hinweise mal angewendet und habe jetzt zwei Kandidaten für Extrema raus.
[mm] P_{1}=(-1,85/1,16) [/mm]
[mm] P_{2}=(0/2) [/mm]
Und damit durch die Hessematrix zwei Sattelpunkte. Kann das sein?
[mm] H_{f(-1,85/1,16)}=\vmat{ -6 & 12 \\ 12 & 0 } [/mm]
[mm] det(H_{f})=-144 [/mm] < 0
-> Sattelpunkt
[mm] H_{f(0/2)}=\vmat{ -3,48 & 9,5868 \\ 9,5868 & -12,876 } [/mm]
[mm] det(H_{f})=-47,09 [/mm] < 0
-> Sattelpunkt
Und jetzt weiß ich immer noch nicht, ob diese Werte nun global oder nur lokal gültig sind. Wie kann man das noch rausfinden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Mi 23.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist denn ein globaler gegenüber einem lokalen Sattelpunkt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Fr 25.06.2010 | | Autor: | steem |
Wahrscheinlich sind beide Extremwerte gleichwertig?
Was mich wundert ist, dass die zwei Sattelpunkte sehr nah beieinander liegen und wenn ich mir die Funktion mit Maple plotten lasse ist nicht genau zu erkennen, ob dort Sattelpunkte liegen oder nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Fr 25.06.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
Du hast meinen Hinweis nicht verstanden. hat man ein lokales Min kann es leicht Funktionswerte geben, die viel kleiner sind. entsprechend bei nem lokalen max. aber ein Sattel ist ein Sattel, von dem aus gehts in einigen Richtungen rauf, in andere runter. Das Wort global oder lokal ist also nicht angebracht.
Gruss leduart
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