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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion
f: [mm] \IR^2 \to \IR^2, f(x,y)=(1+e^y)cos(x)-y*e^y [/mm] unendlich viele lokale Maxima, aber kein lokales Minimum hat. |
Lösung:
f ist in [mm] \IR^2 [/mm] beliebig oft diff.bar und es gilt:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=-(1+e^y)sin(x)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^ycos(x)-(y+1)e^y
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=-(1+e^y)cos(x)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y)=-e^ysin(x)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=e^ycos(x) -(y+2)e^y
[/mm]
Notwendig für das Vorliegen eines lokalen Extremums (x,y) ist Df(x,y)=0, d.h. (x,y) ist eine Lösung des Gleichungssystems
[mm] -(1+e^y)sin(x)=0
[/mm]
[mm] e^ycos(x)-(y+1)e^y=0
[/mm]
Es folgt, dass sin(x)=0, also [mm] x=k\pi [/mm] mit k [mm] \in \IZ. [/mm] Dieses x dann in die zweite Gleichung eingesetzt liefert [mm] y=cos(k\pi)-1=(-1)^k-1
[/mm]
So bis hier hin habe ich auch alles noch verstanden. Jetzt folgt aber:
Wir untersuchen die Hessematrix von f an den Stellen [mm] (2k\pi,0) [/mm] und [mm] ((2k+1)\pi,-2) [/mm] mit k [mm] \in \IZ [/mm] auf Definitheit, um lokale Extrema festzustellen.
So genau hier habe ich jetzt Verständnisprobleme:
Wir haben doch als Nullstellen der ersten partiellen Ableitung folgendes erhalten:
[mm] (k\pi,(-1)^k-1) [/mm] aber wieso untersuchen die Jetzt an den Stellen [mm] (2k\pi,0) [/mm] und [mm] ((2k+1)\pi,-2) [/mm] ? Das versteh ich noch nicht, wo kommen diese Stellen her?
Danke für hilfe.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Fr 20.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
das ist eine Fallunterscheidung:
Falls k gerade, gilt doch y = 0,
falls k ungerade, gilt y = -2.
Diese beiden Fälle werden nun einzeln betrachtet.
[mm] 2k\pi [/mm] bedeutet hier, dass die geraden k betrachtet werden, daher ist dann auch y = 0, d.h. die Stelle [mm] (2k\pi,0)
[/mm]
[mm] (2k+1)\pi [/mm] bedeutet, dass die ungeraden k betrachtet werden, daher ist dann auch y = -2 und die zu untersuchende Stelle [mm] ((2k+1)\pi, [/mm] -2).
LG djmatey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Fr 20.06.2008 | | Autor: | jaruleking |
Das macht Sinn. Vielen Dank
Gruß
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