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| Aufgabe | Produktionsfunktion X (a,b,c) = [mm] 0.5a^{0,5}*b^{0.5}*c^{0,7}
[/mm]
Für welche Werte von b ist die Grenzproduktivität fallend? |
Mein Ansatz:
Um zu erkennen, ob die Grenzproduktiviät fallend ist, benötige ich den Extremwert, dazu setze ich die erste Ableitung der Grenzproduktionsfunktion = 0
X'(b) = [mm] 0,25a^{0,5}*b^{-0,5}*c^{0,7}
[/mm]
X''(b) = [mm] -0,125a^{0,5}*b^{-1,5}*c^{0,7}= [/mm] 0
da es sich um eine Multiplikation handelt, kann b nur 0 sein.
Jetzt benötige ich die hinreichende Bedingung. Wenn b= 0 = Maximum, dann ist b fallend bei > 0. Wenn b=0= Minimum, dann ist b fallend bei < 0.
Meine Frage: Wie berechne ich die hinreichende Bedingung? Würde mich freuen, wenn mir das einer anhand dieses Beispiels erklären könnte!
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Di 16.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Was Du machst ist Unsinn !
Du hast X (a,b,c) = $ [mm] 0.5a^{0,5}\cdot{}b^{0.5}\cdot{}c^{0,7} [/mm] $
In Abhängigkeit von b ist X von der Form
X(b) = [mm] C\wurzel{b}, [/mm] also ist b [mm] \ge [/mm] 0 und für b>0 ist X'(b) = [mm] \bruch{C}{2 \wurzel{b}}
[/mm]
FRED
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Leider kann ich diesen Schritt überhaupt nicht nachvollziehen.
Ich bin jetzt sehr erschrocken, dass mein Ansatz Unsinn ist. Um zu erkennen, ob eine Funktion steigend oder fallend ist, benötige ich doch das Maximum beziehungsweise Minimum und da nach der Grenzproduktivität bezüglich b gefragt ist, behandeln wir doch a und c wie konstante.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir einer den Schritt näher erklären könnte und mir sagen könnte, wo der Denkfehler bei meinem Ansatz ist.
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Di 16.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo, der Ansatz ist soweit ok,
du musst dabei nur beachten, dass in deiner ersten Ableitung das b im Nenner auftaucht.
Es gilt ja [mm] b^{0,5} [/mm] = [mm] \wurzel{b}
[/mm]
Fred hat lediglich den ganzen anderen Rotz als Konstante C zusammengefasst.
Wie gesagt, in der ersten Ableitung steht nun ein Faktor [mm] b^{-0,5}, [/mm] also [mm] \bruch{1}{\wurzel{b}}, [/mm] der für b=0 nicht definiert ist. Wenn die erste Ableitung 0 werden soll, müsste die Konstante C=0 sein, also a oder c. Aber das ist wahrscheinlich nach Voraussetzung ausgeschlossen, oder? Denn dann wäre ja schon die Funktion X konstant 0.
Jedenfalls kannst du für a,c [mm] \not= [/mm] 0 kein b finden mit X'(b) = 0.
LG djmatey
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