Extremwertbestimmung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 So 07.05.2006 | | Autor: | mangaka |
| Aufgabe | Aus einer rechteckigen Fensterscheibe mit den Seiten a und b ist vom Mittel der kleineren Seite aus eine Ecke unter einem Winkel von 45 [mm] \circ [/mm] abgesprungen.
Aus der restl. Scheibe soll durch Schnitte parallel zu den ursprünglichen Seiten eine möglichst große neue Scheibe erstellt werden. Gib die Maße der neuen Scheibe an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Moin Leute,
Ich will nicht lange drum rum reden: Ich weiss nicht wie ich die Aufgabe lösen soll. Ich weiss nicht einmal wie die Zielfunktion aussieht. Wenn ich die max. Maße bestimmen soll, würd ich annehmen, dass ich den max. Umfang berechnen soll, bin mir aber nicht sicher.
Die Nebenbedinung müsste dann so lauten, glaube ich:
(a' und b' sind die neuen Seiten)
2a + 2b - (diesem abgesprungenem Rechteck) = 2a' + 2b'.
Evtl rede ich auch totalen Blödsinn. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Danke im Vorraus,
mangaka
|
|
| |
|
Gesucht ist laut Fragestellung eindeutig der maximale Flächeninhalt, also lautet die Zielfunktion:
A = a' * b'
Jetzt musst du nur noch die Beziehung von a' und b' rausbekommen, aber ich hab leider gerade keine Zeit, weiteres zu schreiben. Versuchs mal mit Sinus-/Kosinus-/Tangensfunktionen, bei dem 45° Winkel, das müsste gehen.
Bis dann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 So 07.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mangaka!
Bei "möglichst großer Scheibe" ist in der Regel der maximale Flächeninhalt gemeint.
Die Hauptbedingung lautet also: $A(a';b') \ = \ a'*b'$
(Dabei seien $a'_$ und $b'_$ die neuen gesuchten Seitenabmessungen.)
Dann hilft auch stets eine Skizze zur weiteren Findung der Nebenbedingung.
Ich habe hier das mal für $a \ = \ 7$ und $b \ = \ 4$ aufgezeichnet.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nennen die die Stelle, an der die neue Scheibe auf das abgesprungene Stück trifft $x_$ .
Die Geradengleichung für diese schräge Gerade lautet: $f(x) \ = \ [mm] \bruch{b}{2}-x$ [/mm] .
(Warum? Denke an den gegebenen Steigungswinkel sowie die Info "Hälfte der kürzeren Seite").
Damit ergibt sich für die Breite des neuen Rechteckes: $b' \ = \ b-x$ .
Und die Höhe des neuen Rechteckes ergibt sich dann zu: $a' \ = \ a-f(x) \ = \ [mm] a-\left(\bruch{b}{2}-x\right) [/mm] \ = \ [mm] a-\bruch{b}{2}+x$
[/mm]
Diese beiden Werte einsetzen in die Flächenformel (Hauptbedingung) und nun die Extremwertberechnung ...
Kommst Du damit weiter?
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 07.05.2006 | | Autor: | mangaka |
Danke sehr Loddar,
Leider habe ich noch eine Frage. Ich habe wohl verstanden wie du die höhe(a') berechnest, aber nicht die breite(b'). Also was ich meine ist, ich weis nicht wie du auf b'=b-x kommst.
Hoffentlich kannste mir das auch noch erklären :)
MFG
mangaka
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 So 07.05.2006 | | Autor: | mangaka |
ach okay, ich hätte besser lesen sollen.
Wenn x die Stelle ist an dem die Ecke des neuen Fensters die Gerade berührt, dann ist logischerweise b'=b-x.
So ist das wohl richtig oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 So 07.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mangaka!
Genau so stimmt es ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 So 07.05.2006 | | Autor: | mangaka |
Hi,
Ich habe jetzt die 1. Ableitung durchgeführt und das habe ich dabei rausgekriegt:
A = (a- b/2 +x) * (b-x)
= ab - b²/2 + bx - ax - bx/2 - x²
A' = a - b + b - a - b/2 -2x
0 = -b/2 - 2x |+2x
2x = -b/2 | *0,5
x = -b
Kann das angehen?
Also ist das richtig so? Ich glaube nämlich das ich irgendetwas falsch gemacht habe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 So 07.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mangaka!
Beim Ausmultiplizeren hast Du einen Vorzeichenfehler gemacht ...
> A = (a- b/2 +x) * (b-x)
> = ab - b²/2 + bx - ax - bx/2 - x²
Es muss heißen: $A(x) \ = \ [mm] ab-\bruch{b^2}{2}+b*x-a*x [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \bruch{b}{2}*x-x^2$
[/mm]
> A' = a - b + b - a - b/2 -2x
Hier ist mir nicht ganz klar, wie Du die Ableitung ermittelt hast ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 So 07.05.2006 | | Autor: | mangaka |
Ja du hast recht, ein Vorzeichenfehler.
Hmm.. wenn dir nicht klar ist, wie ich die Ableitung zu Stande gebracht habe, solltest du meine Ableitung vergessen. Wie sieht denn die Ableitung deiner Meinung nach aus?
MFG
mangaka
|
|
|
| |
|
Die Ableitung ist echt extrem unverständlich, aber ich zeig sie dir eben:
A(x) = ab - [mm] \bruch{b^2}{2} [/mm] + bx - ax + [mm] \bruch{bx}{2} [/mm] - [mm] x^2
[/mm]
= ab - [mm] \bruch{b^2}{2} [/mm] + 1,5bx - ax - [mm] x^2 [/mm]
A'(x) = 1,5b - a - 2x
Den Rest solltest du alleine hinbekommen, du rechnest halt die Extremstelle aus und setzt das in die Bedingungen für b' (also b' = b-x) und a' ein. Dann haste die Maße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 So 07.05.2006 | | Autor: | mangaka |
Danke für die Antwort Terror-Teddy.
Und auch nochmals Danke an dich, Loddar :)
|
|
|
|
