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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Do 08.09.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Ich stehe vor der Aufgabe für eine Funktion in vier unabhängigen Veränderlichen f(w,x,y,z) die lokalen Minima und Maxima unter zwei Nebenbedingungen g(w,x) und h(y,z) zu bestimmen.
Nun habe ich mir mit Hilfe von Lagrange Parametern die Werte der in Frage kommenden Stellen bestimmt.
Jetzt gilt es aber noch herauszufinden, um welche Art von Extremum es sich dabei handelt.
Hiefür habe ich mir laut dem Satz über die implizite Funktion aus den Nebenbedingungen dw/dx und dz/dy bestimmt.
Danach nehme ich an, ich hätte eine Fkt. die nur noch von x und y abhängig ist, [mm] f_1(x,y), [/mm] wobei ich die Funktion selbst eigentlich nicht benötige sondern nur deren 2. Ableitungen, um mittels der Jacobi Matrix die Art des Extremums feststellen zu können.
Nun gehe ich so vor, dass ich formal [mm] f_1 [/mm] nach x und y ableite, [mm] f_1_x [/mm] = [mm] f_w [/mm] * dw/dx + [mm] f_x. [/mm]
Danach wollte ich so weiter machen, dass ich hier nun meine vorhin berechneten dw/dx und dz/dy einsetze und anschließend die zweiten partiellen Ableitungen bilde.
Bei diesem Punkt bin ich mir jedoch nicht sicher, ob das tatsächlich so machbar ist.
Ist es vielleicht nötig sich w(x) und z(y) irgendwie zu bestimmen und diese dann in die ursprüngliche Glg. einzusetzen, oder reicht es dw/dx und dz/dy in die ersten Ableitungen einzusetzen??
Gibt es vielleicht auch noch eine andere Möglichkeit das zu bestimmen??
Vielen Dank für die Hilfe!
mfg.
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Hallo Skydiver,
> Ich stehe vor der Aufgabe für eine Funktion in vier
> unabhängigen Veränderlichen f(w,x,y,z) die lokalen Minima
> und Maxima unter zwei Nebenbedingungen g(w,x) und h(y,z) zu
> bestimmen.
> Nun habe ich mir mit Hilfe von Lagrange Parametern die
> Werte der in Frage kommenden Stellen bestimmt.
> Jetzt gilt es aber noch herauszufinden, um welche Art von
> Extremum es sich dabei handelt.
> Hiefür habe ich mir laut dem Satz über die implizite
> Funktion aus den Nebenbedingungen dw/dx und dz/dy
> bestimmt.
> Danach nehme ich an, ich hätte eine Fkt. die nur noch von
> x und y abhängig ist, [mm]f_1(x,y),[/mm] wobei ich die Funktion
> selbst eigentlich nicht benötige sondern nur deren 2.
> Ableitungen, um mittels der Jacobi Matrix die Art des
> Extremums feststellen zu können.
> Nun gehe ich so vor, dass ich formal [mm]f_1[/mm] nach x und y
> ableite, [mm]f_1_x[/mm] = [mm]f_w[/mm] * dw/dx + [mm]f_x.[/mm]
> Danach wollte ich so weiter machen, dass ich hier nun meine
> vorhin berechneten dw/dx und dz/dy einsetze und
> anschließend die zweiten partiellen Ableitungen bilde.
> Bei diesem Punkt bin ich mir jedoch nicht sicher, ob das
> tatsächlich so machbar ist.
> Ist es vielleicht nötig sich w(x) und z(y) irgendwie zu
> bestimmen und diese dann in die ursprüngliche Glg.
> einzusetzen, oder reicht es dw/dx und dz/dy in die ersten
> Ableitungen einzusetzen??
die zweiten partiellen Ableitungen müssen erstmal formal bestimmt werden. Danach kannst Du die partiellen Ableitungen [mm]w_{x},\; w_{xx},\;z_{y},\;z_{yy}[/mm] einsetzen. Auch diese müssen zunächst formal berechnet werden.
>
> Gibt es vielleicht auch noch eine andere Möglichkeit das zu
> bestimmen??
Ob der übliche Weg einfacher ist?
Betrachte die Funktion
[mm]r\left( {w,\;x,\;y,\;z} \right)\; = \;f\left( {w,\;x,\;y,\;z} \right)\; + \;\alpha \;g\left( {w,\;x} \right)\; + \;\beta \;h\left( {y,\;z} \right)[/mm]
Berechne hier die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen. Diese Matrix muss definit sein. Betrachte dann die partiellen Ableitungen
[mm]r_{ww},\;r_{xx},\;r_{yy},\;r_{zz}[/mm]
Haben diese partiellen Ableitungen alle gleiches Vorzeichen, so liegt für positives Vorzeichen ein Minimum, für negatives Vorzeichen ein Maximum vor.
Ich weiss nicht, ob das alles so stimmt, also alles ohne Gewähr.
Gruß
MathePower
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