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| Aufgabe | Von einem Kegel ist die Mantellinie bekannt. Das Volumen des Kegels ist von der Höhe h abhängig.
a) Bestimmen sie die Funktionsgleichung V=f(h) und geben sie den Definitionsbereich an.
c) Für welche Höhe h wird das Volumen maximal? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt!
Hallo, ich komme nicht auf die Funktion da ich in der Aufgabe nicht den Durchmesser gegeben habe. Und verzweifle schon hier dran. Bitte um einige Stützen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Do 16.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo VierRinge,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wenn Du den Kegel mal senkrecht durchschneidest, kannst Du doch eine Beziehung zwischen dem Radius $r_$ der Höhe $h_$ und der Mantellinie $s_$ aufstellen mit dem "ollen Griechen" namens Pythagoras:
[mm] $h^2+r^2 [/mm] \ = \ [mm] s^2$
[/mm]
Dies kannst Du nun umstellen nach [mm] $r^2 [/mm] \ = \ ...$ und in die entsprechende Volumenformel für Kegel einsetzen.
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | | Einer Kugel mit dem Halbmesser 8cm ist ein Zylinder mit größtem Volumen einzuschreiben. Berechnen sie das Volumen des Zylinders. |
Die beiden vorrausgehenden Formeln sind mir klar:
V-Kugel = 4/3 [mm] \pi [/mm] * 4³
V-Zylinder = [mm] \pi*r²*h
[/mm]
Aber weiter komme ich dann auch nicht. Kann mir irgendjemand helfen wie es weiter geht?
Auch nicht weiter komme ich bei der Aufgabe:
Eine Strecke a soll so aufgeteilt werden, dass ein gleichschenkliges Dreieck entsteht. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist abhängig von der Grundseite x.
a= 2m
Für welchen x-Wert wird der Flächeninhalt ein Maximum?
Also den ansatz habe ich:
A(x)= x*h/ 2
2=2s+x
Auf die Sache mit Phytagoras bin ich dann auch gekommen und habe s=wurzel aus (h²+1/2x²) doch ich weiß jetzt nicht mehr was ich damit anstellen muss. wahrscheinlich muss ich das umstellen auf h oder x oder?? Nur leider habe ich mittler weile den überblick verloren und bin ein bissel durcheinander.
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Hallo Checkalady,
bleiben wir zunächst mal bei dem Dreieck:
(Hast du zufällig schon eine Idee, auf was für ein Dreieck die Aufgabe hinausläuft? Das hilft einem oft bei der Interpretation der Lösung...)
> Auch nicht weiter komme ich bei der Aufgabe:
> Eine Strecke a soll so aufgeteilt werden, dass ein
> gleichschenkliges Dreieck entsteht. Der Flächeninhalt des
> Dreiecks ist abhängig von der Grundseite x.
> a= 2m
> Für welchen x-Wert wird der Flächeninhalt ein Maximum?
>
> Also den ansatz habe ich:
> A(x)= x*h/ 2
> 2=2s+x
Ja! Gut!
>
> Auf die Sache mit Phytagoras bin ich dann auch gekommen und
> habe s=wurzel aus (h²+1/2x²)
Fast - Klammern nicht vergessen! Genau genommen muss es [mm]s= \wurzel{h^2+( \bruch{1}{2}*x)^2}[/mm] heißen.
> doch ich weiß jetzt nicht mehr
> was ich damit anstellen muss. wahrscheinlich muss ich das
> umstellen auf h oder x oder??
Naja, du hast ja bereits deine Zielfunktion A(x), allerdings musst du noch darin das h "loswerden". Also: lös doch mal den "Pythagoras-Term" nach h auf und setz ihn dann in die Zielfuntion A(x) ein. Dann hast du da ein "überflüssiges" s drin. Das wirst du los, wenn du die andere Nebenbedingung (2=2s+x) nach s auflöst und ebenfalls dort einsetzt.
> Nur leider habe ich mittler
> weile den überblick verloren und bin ein bissel
> durcheinander.
>
Nicht verzagen! Alles wird gut!!!
Viele Grüße,
zerbinetta
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Hallo Checkalady,
zur ersten gestellten Aufgabe kann ich schon mal die Lösung geben:
Man muss bei dieser Aufgabe eine Beziehung zwischen einer gegebenen Größe der Kugel und der zu berechnenden Größe des Kegels finden. Als gegebene Größe der Kugel bietet sich der Radius an. Bei dem Kegel ebenfalls der Radius oder die Höhe h, wobei der Radius des Kegels nicht dem Radius der Kugel entspricht, also aufpassen. Ich habe den Kugelradius mit R und den des Kegel mit r bezeichnet. Wenn du dir eine Zeichnung zu dem Problem machst, also ein Rechteck in einem Kreis, wobei die Ecken des Rechtecks auf dem Kreisumfang liegen, siehst du, dass der Radiusstrich der Kugel mit einer Ecke des Rechtecks zusammenfällt. Dann zeichnest du einen Strich vom Kreismittelpunkt senkrecht hoch zu einer Zylinderkante, sodass beide senkrecht aufeinander stehen. Diese Größe stellt die halbe Höhe des Zylinders dar. Nun zeichnest du noch den Radius des Zylinders ein, sodass die drei genannten Größen ein rechtwinkliges Dreieck ergeben. Nun kannst du mit Hilfe von Pythagoras die Beziehung in dem Dreieck aufstellen, also:
[mm] R^{2}=r^{2}+\bruch{h^{2}}{4}
[/mm]
da R gegeben ist, umstellen nach r oder h, hier nach [mm] r^{2}. [/mm] Das bietet sich an da in der Volumenformel des Zylinders auch [mm] r^{2} [/mm] vorkommt. Dann dort einsetzen und ausmultiplizieren, somit erhältst du eine Gleichung dritten Grades:
[mm] V(h)=\pi(R^{2}-(\bruch{h^{2}}{4}))h
[/mm]
[mm] =\pi*h*R^{2}-\bruch{1}{4}*\pi*h^{3}
[/mm]
Solltest du oder deine Freundin schon in Sachen Differentiation bewandert sein leitest du diese Gleichung nach h ab und setzt das entstandene Polynom zweiten Grades gleich null:
[mm] \bruch{dV}{dh}=\pi*R^{2}-\bruch{3}{4}*\pi*h^{2}
[/mm]
[mm] 0=\pi*R^{2}-\bruch{3}{4}*\pi*h^{2}
[/mm]
und dann werden die Lösungen des Polynoms berechnet durch Auflösen nach h. Ich hab da raus:
[mm] h_1=\wurzel{\bruch{4}{3}}R [/mm] ,welches ziemlich logisch klingt und
[mm] h_2=-\wurzel{\bruch{4}{3}}R
[/mm]
[mm] h_2 [/mm] ist durch das Ziehen der Wurzel negativ, doch machen negative Höhen hier keinen Sinn.
Also ist [mm] h_1 [/mm] unsere einzige brauchbare Lösung.
Wir müssen aber vorher noch prüfen, ob diese Lösung wirklich ein Maximum darstellt. Dazu differenzieren wir die Gleichung ein zweites Mal und setzen unser Ergebnis dort ein:
[mm] V^{(2)}(h)=-\bruch{6}{4}\pi*h
[/mm]
[mm] V^{(2)}(h_1)<0 [/mm] also ein Maximum; die Ungleichung brauchen wir erst gar nicht weiter auszurechnen.
Jetzt wissen wir überhaupt erst, dass das Zylindervolumen mit der Höhe [mm] h_1 [/mm] extrem groß wird.
So wenn du jetzt den Pythagorasausdruck für [mm] r^{2} [/mm] und die Lösung [mm] h_1 [/mm] für h in die Zylinderformel (und in den Pythagorasausdruck) einsetzt kommt raus:
[mm] V_{max}=\pi(R^{2}-\bruch{4}{12}R^{2})h
[/mm]
[mm] =\bruch{8}{12}*\pi*R^{2}\wurzel{\bruch{4}{3}}R
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{16}{27}}\pi R^{3}
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 1,238 Liter
Ich hoffe alle, die sich das hier zur Kenntnis nehmen, können mein Ergebnis bestätigen. Wenn etwas falsch ist bitte melden!
Ansonsten hoffe ich, dass deiner Freundin das mit dem Diffen keine Schwiereigkeiten bereitet. Sonst wüsste ich auch keine Möglichkeit. Ich hatte es versucht manuell ohne Diffung zu lösen, doch kam da bei mir völliger Quatsch raus.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo,
ich sitze gerade an der selben Aufgabe. Kann vielleicht jemand seine Zeichnung zu dem Problem veröffentlichen. Mir ist nicht ganz klar, warum ich ein Rechteck in einem Kreis zeichnen soll? Und wieso ergibt sich dann ein rechtwinkliges Dreieck?
Gruß
Tobi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Fr 05.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Tobi
Weil du und ich so schlecht 3-dimensional zeichnen können schneiden wir die Kugel mit dem Zylinder drin in der Mitte durch, und zwar den Zylinder dabei von oben nach unten. Dann sieht man von der Kugel nen Kreis und vom Zylinder nen Rechteck, die eine Seite davon ist der Durchmesser des Grundkreises, die andere die Höhe. Die Diagonale ist der Durchmesser der Kugel! Bei räumlichen Aufgaben immer nen geschickten Querschnitt zeichnen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo,
danke für den guten Tipp mit dem Querschnitt. Jetzt kann ich mir das auf jeden Fall besser vorstellen.
Gruß
Tobi
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