Extremwertaufgabe und Polar... < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion f(x, [mm] y):=(3x^{2}y-y^{3})^{2}e^{-x^{2}-y^{2}}) [/mm] und wollen die lokalen Extrema
bestimmen. Die Funktion weist eine Drehsymmetrie auf. Wir betrachten deshalb die Funktion in Polarkoordinaten. Die Funktion P : [mm] [0,\infty) [/mm] × [mm] [0,2\pi)\to\IR^{2} [/mm] mit [mm] P(r,\alpha):= (rcos\alpha, rsin\alpha) [/mm] rechnet Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten um.
a) Bestimmen Sie die Ableitung [mm] \nabla [/mm] f(x,y) von f.
b) Bestimmen Sie die Ableitung [mm] DP(r,\alpha) [/mm] der Funktion P.
c) Zeigen Sie mit Hilfe der Kettenregel, dass im Punkt [mm] (x,y)=(rcos\alpha, rsin\alpha) [/mm] gilt
[mm] \bruch{\partial(f\circ P)}{\partial r}(r,\alpha)=f_{x}(x,y)cos\alpha+f_{y}(x,y)sin\alpha [/mm] ,
[mm] \bruch{\partial(f\circ P)}{\partial \alpha}(r,\alpha)=r(-f_{x}(x,y)sin\alpha+f_{y}(x,y)cos\alpha) [/mm] .
d) Berechnen Sie die Verkettung f [mm] \circ [/mm] P und deren Ableitung. Vergleichen Sie mit der in c) gezeigten Ableitungsregel. Hinweis: Nutzen Sie zur Vereinfachung [mm] sin(3\alpha)=sin\alpha(3cos^{2}\alpha-sin^{2}\alpha)
[/mm]
e) Bestimmen Sie die kritischen Stellen von f, indem Sie die kritischen Stellen von f [mm] \circ [/mm] P berechnen.
f) Bestimmen Sie die Art der kritischen Stellen. |
Moin, moin,
also zu der Aufgabenteil a) habe ich folgendes:
f(x, [mm] y):=(3x^{2}y-y^{3})^{2}e^{-x^{2}-y^{2}})
[/mm]
[mm] \nabla [/mm] f(x,y)=[ [mm] 2*(3x^{2}y-y^{3})*6xy*e^{-x^{2}-y^{2}}*(-2x) [/mm] , [mm] 2*(3x^{2}y-y^{3})(3x^{2}-3y^{2})*e^{-x^{2}-y^{2}}*(-2x) [/mm] ]
ich hab aber das dumme gefühl, dass das zu einfach ging :(
b) ??? Was ist D?
c) da muss ich sicherlich f mit P vereinen und dann ableiten. Aber das wäre eigentlich aufgabenteil d). was soll ich dann hier machen?
der rest kommt noch. für das erste reichst mal^^
Danke im Vorraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Mo 14.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.im ersten Teil hast du die produktregel nicht angewandt.
2. DP ist die Ableitung der 2d Funktion [mm] P(r,\phi) [/mm] also wieder eine 2d fkt. eindimensional schriebe man P' hier oft auch [mm] \nabla [/mm] P
die brauchst du dann in d) wo du [mm] f\circ [/mm] P ableiten sollst für die Kettenregel.
Gruss leduart
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Guten Abend,
so hier die neue Version von der a):
[mm] f(x,y)=(3x^{2}y-y^{3})^{2}*e^{-x^{2}-y^{2}}
[/mm]
[mm] \nabla [/mm] f(x,y)=[ [mm] 2(3x^{2}y-y^{3})6xy*e^{-x^{2}-y^{2}}+(3x^{2}y-y^{3})^{2}*e^{-x^{2}-y^{2}}(-2x) [/mm] , [mm] 2(3x^{2}y-y^{3})(3x^{2}y-3y^{3})*e^{-x^{2}-y^{2}}+(3x^{2}y-y^{2})^{2}*e^{-x^{2}-y^{2}}*(-2y) [/mm] ]
ich weiß aber immer noch nicht was ich bei der b) machen soll :(
Danke für eure Hilfe^^
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Hallo monstre123,
> Guten Abend,
>
> so hier die neue Version von der a):
>
> [mm]f(x,y)=(3x^{2}y-y^{3})^{2}*e^{-x^{2}-y^{2}}[/mm]
>
> [mm]\nabla[/mm] f(x,y)=[
> [mm]2(3x^{2}y-y^{3})6xy*e^{-x^{2}-y^{2}}+(3x^{2}y-y^{3})^{2}*e^{-x^{2}-y^{2}}(-2x)[/mm]
> ,
> [mm]2(3x^{2}y-y^{3})(3x^{2}y-3y^{3})*e^{-x^{2}-y^{2}}+(3x^{2}y-y^{2})^{2}*e^{-x^{2}-y^{2}}*(-2y)[/mm]
> ]
Die partielle Ableitung nach x stimmt.
Bei der partiellen Ableitung nach y hat sich ein Fehler eingeschlichen.
[mm]2(3x^{2}y-y^{3})\red{(3x^{2}y-3y^{3})}*e^{-x^{2}-y^{2}}+(3x^{2}y-y^{2})^{2}*e^{-x^{2}-y^{2}}*(-2y)[/mm]
>
>
> ich weiß aber immer noch nicht was ich bei der b) machen
> soll :(
Bei b) sollst Du die partiellen Ableitungen von P nach r bzw [mm]\alpha[/mm] bestimmen.
>
> Danke für eure Hilfe^^
Gruß
MathePower
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