Extremwertaufgabe mit Funktion < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 So 08.07.2007 | | Autor: | SunaYuna |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Funktion f(x)=-x²+4. Der Graph schließt mit der 1. Achse eine Fläche ein.
-> Beschreibe dieser Fläche ein rechtwinkliges Dreieck so ein, dass eine Kathete auf der 1. Achse und beide Hypotenusenendpunkte auf dem oberen Parabelbogen liegen und dass bei Drehung um die 1. Achse ein Kegel von möglichst großem Volumen etsteht. |
Hallo!
1.) Reicht es zu sagen, dass das Volumen des Kegels Maximal werden soll und dementsprechend Nebenbedingungen aufzustellen oder erfordert es mehr zu machen?
2.) Was für Punkte kenne ich beim Dreieck, um es auszurechen? Ich fertige Skizzen an, doch die bringen mich nicht weiter.
Thx für das Durchlesen
sy
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> Gegeben ist eine Funktion f(x)=-x²+4. Der Graph schließt
> mit der 1. Achse eine Fläche ein.
>
> -> Beschreibe dieser Fläche ein rechtwinkliges Dreieck so
> ein, dass eine Kathete auf der 1. Achse und beide
> Hypotenusenendpunkte auf dem oberen Parabelbogen liegen und
> dass bei Drehung um die 1. Achse ein Kegel von möglichst
> großem Volumen etsteht.
> Hallo!
>Ich fertige Skizzen an, doch die bringen mich
> nicht weiter.
Wie wärs mit folgender Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> 1.) Reicht es zu sagen, dass das Volumen des Kegels Maximal
> werden soll und dementsprechend Nebenbedingungen
> aufzustellen oder erfordert es mehr zu machen?
Um, ja, klingt für meine Ohren recht plausibel.
>
> 2.) Was für Punkte kenne ich beim Dreieck, um es
> auszurechen?
Etwa den Punkt $P$ auf dem Parabelbogen in meiner obigen Skizze? - Nur ein Vorschlag. Eine Kathete muss ja auf der $x$-Achse liegen und damit auch einer der beiden Endpunkte der Hypotenuse. Natürlich gäbe es, mittels Spiegelung an der $y$-Achse, eine zweite Möglichkeit. Diese zweite Möglichkeit können wir am Ende wieder ins Spiel bringen: d.h. wir erwarten zwei zur $y$-Achse symmetrische Lösungen bzw. kongruente Dreiecke.
Zunächst musst Du also die Zielfunktion und dann noch die Nebenbedingung hinschreiben. Mein Vorschlag:
[mm]\begin{array}{clclcl|}
\text{(Z)} & V(x_p,y_P) &=& \displaystyle \frac{\pi y_P^2\cdot (x_P+2)}{3}&\overset{!}{=} \max\\
\text{(NB)} & y_P &=& 4-x_P^2\\\cline{2-6}
\end{array}
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: Png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 So 08.07.2007 | | Autor: | SunaYuna |
Zunächst einmal Danke für deine Antwort.
Deine Skizze bringt mich schonmal ein gutes Stück weiter, auch wenn ich die Punkte anders bezeichnen würde 
Die Volumen-Formel kann ich nicht ganz nachvollziehen, da mir einige Formelzeichen nicht bekannt sind - ich würde so vorgehen:
P (xp/Yp) würde ich als P (x/f(x)) bezeichnen
Dann stelle ich die Zielfunktion auf [mm] V=\pi/3*r²h [/mm] und müüste die Variablen entsprechen verändern, oder? Rede ich gerade Unsinn, oh Mann ...
Aber irgendwie müsste ich f(x) in diese Formel doch einsetzen können, da es doch schon eine Nebenbedingung ist, oder?
*verwirrtsei*
P.S. Integralrechnung hatten wir im Grunde genommen noch nicht, deswegen sagt mir der letzte Absatz nicht viel.
thx sy
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> Zunächst einmal Danke für deine Antwort.
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> Deine Skizze bringt mich schonmal ein gutes Stück weiter,
> auch wenn ich die Punkte anders bezeichnen würde
> Die Volumen-Formel kann ich nicht ganz nachvollziehen,
da
> mir einige Formelzeichen nicht bekannt sind
Das ist mir nachträglich auch in den Sinn gekommen: ich habe deshalb das Kegelvolumen (die Zielfunktion) einfacher angesetzt. Schau doch nochmals die entsprechend korrigierte erste Antwort auf Deine Frage an. Dort habe ich neu die Zielfunktion so definiert:
[mm] [center]$V(x_P,y_P)=\frac{\pi y_P^2 (x_P+2)}{3}$[/center]
[/mm]
> - ich würde so
> vorgehen:
>
> P (xp/Yp) würde ich als P (x/f(x)) bezeichnen
>
> Dann stelle ich die Zielfunktion auf [mm]V=\pi/3*r²h[/mm] und müüste
> die Variablen entsprechen verändern, oder? Rede ich gerade
> Unsinn, oh Mann ...
Nein, ist alles ganz vernünftig. Nur würde ich nicht neue Namen wie $r$ und $h$ einführen. Man kann diese Grössen direkt mit [mm] $y_P$ [/mm] und [mm] $x_P-(-2)=x_P+2$ [/mm] identifizieren.
>
> Aber irgendwie müsste ich f(x) in diese Formel doch
> einsetzen können, da es doch schon eine Nebenbedingung ist,
> oder?
Richtig: Du kannst etwa [mm] $y_P$ [/mm] aufgrund der Nebenbedingung in der Zielfunktion durch den Term [mm] $4-x_P^2$ [/mm] ersetzen. Dann erhältst Du das Volumen als Funktion von [mm] $x_P$ [/mm] alleine: und kannst also als nächstes die Extrema dieser Funktion von [mm] $x_P$ [/mm] bestimmen. (Nebenbei bemerkt: Du könntest anstelle von [mm] $x_P$ [/mm] und [mm] $y_P$ [/mm] auch einfach $x$ und $y$ schreiben.)
> *verwirrtsei*
>
> P.S. Integralrechnung hatten wir im Grunde genommen noch
> nicht, deswegen sagt mir der letzte Absatz nicht viel.
Ja, sorry, hab's zu spät bemerkt.
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