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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 So 23.10.2005 | | Autor: | Norman |
Ich habe eine Funktionsschar f(x) = t- [mm] \bruch{4}{x²}. [/mm] (t > 0)
Asympotote : y=t
P(u|v) sei ein beliebiger Punkt auf dem Graphen . Durch P werden Parallelen zur x - und y Achse gezogen . Diese Parallelen bilden zusammen mit der y-Achse und der Asymptote ein Rechteck. Dieses Rechteck rotiere um die y-Achse. Zeigen Sie, dass das Volumen aller entstehenden Rotationszylinder gleich ist. Wie muss u gewählt werden, damit die Oberfläche des Zylinder minimal wird?
das Volumen des Zylinders berechnet sich ja aus V= [mm] \pi*r²*h.
[/mm]
h lässt sich so berechnen h= t-t+ [mm] \bruch{4}{u²} [/mm] -> h= [mm] \bruch{4}{u²}.
[/mm]
r=u.
Das Ergebnis lautet dann V= 4 [mm] \pi
[/mm]
Jetzt soll ja die Oberfläche minimal werden . Diese lässt sich wie folgt berechnen : [mm] A=2\pi*r(r*h). [/mm] Jetzt habe ich für r und h die oben angegebenen Sachen eingesetzt , dann sieht es so aus.
[mm] A=2\pi*u²+ \bruch{4}{u}.
[/mm]
Jetzt weis ich nich weiter , was ich machen soll. Kann mir da jemand helfen.
Ich habe mal ein Bild zur Veranschaulichung hochgeladen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Norman,
> Ich habe eine Funktionsschar f(x) = t- [mm]\bruch{4}{x²}.[/mm] (t
> > 0)
> Asympotote : y=t
>
> P(u|v) sei ein beliebiger Punkt auf dem Graphen . Durch P
> werden Parallelen zur x - und y Achse gezogen . Diese
> Parallelen bilden zusammen mit der y-Achse und der
> Asymptote ein Rechteck. Dieses Rechteck rotiere um die
> y-Achse. Zeigen Sie, dass das Volumen aller entstehenden
> Rotationszylinder gleich ist. Wie muss u gewählt werden,
> damit die Oberfläche des Zylinder minimal wird?
>
> das Volumen des Zylinders berechnet sich ja aus V=
> [mm]\pi*r²*h.[/mm]
> h lässt sich so berechnen h= t-t+ [mm]\bruch{4}{u²}[/mm] -> h=
> [mm]\bruch{4}{u²}.[/mm]
> r=u.
> Das Ergebnis lautet dann V= 4 [mm]\pi[/mm]
>
> Jetzt soll ja die Oberfläche minimal werden . Diese lässt
> sich wie folgt berechnen : [mm]A=2\pi*r(r*h).[/mm] Jetzt habe ich
> für r und h die oben angegebenen Sachen eingesetzt , dann
> sieht es so aus.
> [mm]A=2\pi*u²+ \bruch{4}{u}.[/mm]
um das Extremum zu bestimmen, differenzierst Du A nach u und setzt das ganze 0.
Dann musst Du noch untersuchen, welche Art von Extremum ist. Hierzu bildest Du A''(u).
Ist A'' von dem Wert, den Du aus A' = 0 erhalten hast, größer 0 so handelt es sich um ein Minimum. Ist A'' kleiner 0, so handelt es sich um ein Maximum.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 So 23.10.2005 | | Autor: | Norman |
Auch wenn das jetzt blöd klingt , was meinst du mit differenzieren ??
Soll ich da die erste Ableitung machen oder wie??
Falls es so is kann irgendwas nicht stimmen es bleibt immer ein u übrig und ich muss doch nen Wert für haben, oder?
Gruß
Norman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 So 23.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Norman!
> Auch wenn das jetzt blöd klingt , was meinst du mit
> differenzieren ??
> Soll ich da die erste Ableitung machen oder wie??
Genau! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Falls es so is kann irgendwas nicht stimmen es bleibt immer
> ein u übrig und ich muss doch nen Wert für haben, oder?
Aber es muss doch auch ein $u_$ übrig bleiben, damit Du auch die Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln kannst. Du musst ja dann nach $u_$ umstellen / auflösen.
Wie lautet denn Deine 1. Ableitung $A'(u)_$ ??
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 23.10.2005 | | Autor: | Norman |
Die erste ABleitung lautet bei mir:
A(u)=2u- [mm] \bruch{4}{u²}
[/mm]
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Hallo Norman,
> Die erste ABleitung lautet bei mir:
> A(u)=2u- [mm]\bruch{4}{u²}[/mm]
da ist wohl der Faktor [mm]2\;\pi[/mm] verlorengegangen.
Gruß
MathePower
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