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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Mo 28.06.2004 | | Autor: | drummy |
Hallo,
ich hab da ein Problem mit dieser Aufgabe:
Kugel, Radius beträgt 30 cm
In die Kugel soll ein Zylinder mit größt möglichem Volumen eingesetzt werden.
Ich muss nun die Seitenlängen des Zylinder berechnen, um die größte Fläche rauszukriegen.
Wäre nett wenn mir jemand beim Ansatz helfen könnte.
Vielen Dank im Voraus
Drummy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo drummy
> Hallo,
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> ich hab da ein Problem mit dieser Aufgabe:
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> Kugel, Radius beträgt 30 cm
> In die Kugel soll ein Zylinder mit größt möglichem Volumen
> eingesetzt werden.
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> Ich muss nun die Seitenlängen des Zylinder berechnen, um
> die größte Fläche rauszukriegen.
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Das verstehe ich nicht. Es soll ja das grösste Volumen des Zylinders herauskommen, nicht die grösste Oberfläche.
Ich würde das mal so angehen: mache eine Skizze, wo du den Zylinder exakt von der Seite aus siehst. Der Zylinder stellt sich dann als Rechteck dar, die Kugel als Umkreis dieses Rechteckes. Die Seitenlinien des Rechteckes entsprechen der Höhe $h$ des Zylinders.
Wenn du den Mittelpunkt des Umkreises mit einer Ecke des Rechteckes verbindest, dann entspricht diese Verbindungsstrecke dem Radius der Kugel. Mit der Bezeichnung $r$ für den Radius des Zylinders und $h$ für die Höhe des Zylinders kannst du an dieser Skizze unschwer ablesen:
[mm] $r^{2}+(\bruch{h}{2})^{2}=900$
[/mm]
Dazu bedarf es in der Skizze noch einiger Hilfslinien (Rechtwinkliges Dreieck).
Diese Gleichung kannst du natürlich auch etwas umstellen:
[mm] $r^{2}=900-\bruch{h^{2}}{4}$
[/mm]
Dies ist eine Nebenbedingung dafür, dass der Zylinder sich vollständig in der Kugel befindet, ohne Platz zuz vergeuden  .
Das Volumen des Zylinders berechnet sich bekanntlich zu:
$V = [mm] \pi r^{2}*h$
[/mm]
Hier würde ich das [mm] $r^{2}$ [/mm] ersetzen durch den Ausdruck aus der umgestelleten Nebenbedingung. So entsteht eine Formel für das Volumen als Funktion von $h$. Sollte das Volumen maximal werden, hast du einfach die erste Ableitung zu bilden und diese Null zu setzen und so weiter, wie in allen Maximierungsaufgaben (nach $h$ auflösen).
Ich glaube, jetzt kannst du schon mal etwas weiter rechnen. Solltest du dabei ins Stocken geraten, dann meldest du dich doch einfach wieder! 
> Wäre nett wenn mir jemand beim Ansatz helfen könnte.
>
Ich hoffe, fürs Erste genügt das?
Mit lieben Grüssen
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