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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Di 01.07.2008 | | Autor: | Hans5642 |
| Aufgabe |
Wie ist bei einem gleichschenkligen Dreieck mit der Schenkellänge S der Basiswinkel zu bestimmen, damit der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß leider nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll, vielleicht könnt ihr mir ja helfen...
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Hallo Hans,
du musst am Anfang überlegen was du brauchst. Du willst den maximalen Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks bestimmen (in Abhängigkeit vom Winkel).
1. Schritt: Wie lautet die Gleichung für den Flächeninhalt des besagten Dreickes?
2. Schritt: Wie hängt S vom Winkel ab?
3. Schritt: Die beiden vorhergegangenen Schritte zusammenfügen, so dass du nur noch eine Gleichung hast und dann mit dem Differenzieren beginnen!
siehe: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichschenkliges_Dreieck
probiers mal und schick dein Ergebnis rein.
Schöne Grüße
RoadRunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Di 01.07.2008 | | Autor: | Hans5642 |
Danke Roadrunner,
ich hab mal probiert das durchzurechnen:
Hauptbedingung: A=1/2*c*h
Nebenbedingung: tan a= h/(c/2) oder auch tan a=2h/c
Dann ergibt sich die Zielfunktion A(c)=1/2*c*((c* tan a)/2)
erste Ableitung=0 und nach a umstellen
Daraus folgt: [mm] a=\pi
[/mm]
Ist das richtig??
Danke im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Di 01.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Danke Roadrunner,
>
> ich hab mal probiert das durchzurechnen:
>
> Hauptbedingung: A=1/2*c*h
> Nebenbedingung: tan a= h/(c/2) oder auch tan a=2h/c
>
> Dann ergibt sich die Zielfunktion A(c)=1/2*c*((c* tan
> a)/2)
> erste Ableitung=0 und nach a umstellen
>
> Daraus folgt: [mm]a=\pi[/mm]
>
> Ist das richtig??
Mit Sicherheit nicht. Da die Innenwinkelsumme nur 180° (also [mm] \pi) [/mm] beträgt, kann ein einzelner Basiswinkel nicht [mm] \pi [/mm] sein.
Es nutzt auch nichts, gleich drei Unbekannte (c, h und [mm] \alpha) [/mm] einzuführen.
Gegeben ist die Schenkellänge S. Die beiden Schenkel schließen an der Spitze einen Winkel [mm] \gamma [/mm] ein. Der Flächeninhalt ist dann [mm] A(\gamma)=0,5*S*S*sin \gamma [/mm] .
Das kannst du nach [mm] \gamma [/mm] ableiten und Null setzen. Test nicht vergessen, ob Minimum oder Maximum vorliegt! Abschließend aus [mm] \gamma [/mm] mit Innenwinkelsumme [mm] \alpha [/mm] berechnen.
Wenn dir diese Flächenformel nichts sagt, musst du dein h und dein c jeweils durch S und [mm] \alpha [/mm] ausdrücken, damit erhältst du eine Zielfunktion mit [mm] \alpha.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Danke im vorraus
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Di 01.07.2008 | | Autor: | Hans5642 |
Danke abakus.
Ich hab deine Gedanken mal zusammengefasst und ausgerechnet:
Hauptbedingung: A=1/2*S*h
Nebenbedingung: [mm] sin\gamma=h/S
[/mm]
Zielfunktion: [mm] A(\gamma)=1/2*S*S*sin\gamma
[/mm]
erste Ableitung: [mm] A´(\gamma)=(cos\gamma*S^2)/2
[/mm]
[mm] A´(\gamma)=0
[/mm]
Daraus folgt: [mm] \gamma=\pi/2
[/mm]
Nachweis, dass es ein Maximum ist hab ich dann gemacht.
Dann hab ich mit den Innenwinkelsatz gearbeitet:
da [mm] \gamma=\pi/2 [/mm] und alle Innenwinkel=180° folgt das die anderen beiden Winkel zusammen 178,4° sein müssen, also jeweils 89,2°.
Also muss der Basiswinkel 89,2° groß sein, damit A maximal wird.
ist das nun richtig? Wenn nicht bitte mal für mich vorrechnen!
Danke im Vorraus!
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> Dann hab ich mit den Innenwinkelsatz gearbeitet:
>
> da [mm]\gamma=\pi/2[/mm] und alle Innenwinkel=180° folgt das die
> anderen beiden Winkel zusammen 178,4° sein müssen, also
> jeweils 89,2°.
> Also muss der Basiswinkel 89,2° groß sein, damit A maximal
> wird.
>
> ist das nun richtig? Wenn nicht bitte mal für mich
> vorrechnen!
In der Gleichung [mm]\gamma=\pi/2[/mm] ist natürlich das Bogenmass
gemeint; mit anderen Worten: [mm]\gamma=90°[/mm] !!
(hast du meine andere Antwort durchgesehen? da gibt es
praktisch gar nichts zu rechnen, sondern nur zu schauen !)
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Di 01.07.2008 | | Autor: | Hans5642 |
Vielen Dank für die guten Ansätze aber, irgendwie hab ich es immernoch nicht verstanden. Kann ir vielleicht jemand das vorrechnen, wie ich das aufschreiben kann? Ein Tipp nehme ich natürlich auch gerne an aber die erste Möglichkeit fänd ich besser.
Danke im vorraus!!
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Hallo
[mm] A(\gamma)=\bruch{1}{2}s^{2}sin(\gamma)
[/mm]
[mm] A'(\gamma)=\bruch{1}{2}s^{2}cos(\gamma)
[/mm]
[mm] 0=\bruch{1}{2}s^{2}cos(\gamma)
[/mm]
ein Produkt wird zu Null, ist einer der Faktoren gleich Null
[mm] cos(\gamma)=0
[/mm]
[mm] \gamma=90^{0}
[/mm]
[mm] A''(\gamma)=-\bruch{1}{2}s^{2}sin(\gamma)
[/mm]
[mm] A''(90^{0})=-\bruch{1}{2}s^{2}sin(90^{0})=-\bruch{1}{2}s^{2}<0 [/mm] Maximum
über den Innenwinkelsatz bekommst du [mm] \alpha=\beta=45^{0}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Di 01.07.2008 | | Autor: | Hans5642 |
Vieln Dank Steffi, aber wie kommst du auf die erste Funktion? [mm] (A(\gamma))
[/mm]
und das mit der Faktor wird gleich 0 hab ich auch nicht ganz begriffen. Und wie kommt man dann letztendlich auf die 90°?
Wär echt nett, wenn du mir das noch verraten könntest 
Danke im vorraus!
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Hallo,
1. Teil
du hattest ja [mm] A=\bruch{1}{2}*c*h
[/mm]
[mm] sin(\bruch{\gamma}{2})=\bruch{\bruch{c}{2}}{s} [/mm] somit [mm] c=2*s*sin(\bruch{\gamma}{2})
[/mm]
[mm] cos(\bruch{\gamma}{2})=\bruch{h}{s} [/mm] somit [mm] h=s*cos(\bruch{\gamma}{2})
[/mm]
jetzt c und h einsetzen
[mm] A(\gamma)=\bruch{1}{2}*2*s*sin(\bruch{\gamma}{2})*s*cos(\bruch{\gamma}{2})
[/mm]
[mm] A(\gamma)=\bruch{1}{2}*s^{2}*2*sin(\bruch{\gamma}{2})*cos(\bruch{\gamma}{2})
[/mm]
für [mm] 2*sin(\bruch{\gamma}{2})*cos(\bruch{\gamma}{2}) [/mm] verwendest du ein Additionstheorem
[mm] A(\gamma)=\bruch{1}{2}*s^{2}*sin(\gamma)
[/mm]
2. Teil
ein Produkt a*b wird gleich Null, wenn a oder b gleich Null ist
du hast den 1. Faktor [mm] \bruch{1}{2}s^{2} [/mm] der wird nicht zu Nul, da s nicht Null sein kann, du hättest dann gar kein Dreieck, also
du hast den 2. Faktor [mm] cos(\gamma), [/mm] somit [mm] 0=cos(\gamma)
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Di 01.07.2008 | | Autor: | Hans5642 |
Ok, also den 2. Teil hätte ich verstanden. Den 1. aber leider noch nicht. Mit diesem [mm] cos(\gamma/2) [/mm] und [mm] sin(\gamma/2). [/mm] Wieso noch durch 2? Ich kenn nur das normale [mm] cos(\gamma) [/mm] und [mm] sin(\gamma). [/mm] Außerdem weiß ich nicht was ein Additionstheorem ist. Ich hoffe, ich nerve dich nicht aber vielleicht könntest du mir das ja noch mal einfacher oder anders erklären, wenns geht.
Danke im Vorraus
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Hallo,
schau mal in dein Tafelwerk bei den Winkelfunktionen, du findest dort:
2*sin(x)*cos(x)=sin(2x)
bei uns steht an Stelle x der Term [mm] \bruch{\gamma}{2} [/mm]
jetzt brauchen wir 2x also [mm] 2*\bruch{\gamma}{2}=\gamma
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Di 01.07.2008 | | Autor: | Hans5642 |
Aaah!!! Jetzt hat es bei mir Klick gemacht! Vielen, vielen Dank Steffi, dass du mir so spät noch geholfen hast. Ohne dich wäre ich morgen verloren gewesen. Naja, vielleicht hab ich ja demnächst noch mal eine Aufgabe. Man sieht sich,
Hans5642
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Betrachte einen der Schenkel der Länge S als Grundlinie !
Wie gross kann dann die zugehörige Höhe maximal werden ?
LG
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