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| Aufgabe | | Die Gesamtfläche eines Stadions (bestehend aus einem Rechteck und zwei Halbkreisen) soll Maximal werden. Der Umfang ist 400m. |
Hallo,
also Zielfunktion und Nebenbedingung habe ich definiert:
ZF: $ [mm] A(a,b)=a\cdot{}b+ \pi \cdot{}({b^2}/4) [/mm] $
NB: [mm] 400=2a+b*\pi
[/mm]
Durch Einsetzen entsteht dann dies:
$ [mm] A(b)=\bruch{400-\pi b}{2}\cdot{}b+\pi\cdot{}\bruch{b^2}{4} [/mm] $
Und das wird zusammengefasst zu
$ [mm] A(b)=\bruch{b\cdot{}(800-\pi b)}{4} [/mm] $
Das habe ich ja noch selbst hinbekommen, aber dann bei der Ableitung habe ich wieder mal ein Problem.
ich rechne dann so:
$ [mm] A(b)=\bruch{800b-\pi b^2)}{4} [/mm] $
$ [mm] A'(b)=\bruch{(800-2\pi b)*4-(800b-\pi b^2)}{16} [/mm] $
Denn es muss ja die Quotientenregel angewendet werden
Also [mm] \bruch{u'*v-u*v'}{v^2}
[/mm]
Aber wie kann ich das noch zusammenfassen?
$ [mm] A'(b)=\bruch{3200-8\pi b-800b+\pi b^2}{16} [/mm] $
$ [mm] A'(b)=\bruch{400-\pi b-100b+\bruch{\pi}{8} b^2}{2} [/mm] $
Das habe ich jetzt gerechnet. Aber Derive sagt, dass das die Ableitung ist, aber da kann ich ja auch durch kurzen oder irgendwas auch nicht mehr drauf kommen:
$ [mm] A'(b)=\bruch{400-\pi b}{2} [/mm] $
Wäre super, wenn mir jemand meinen Fehler aufzeigen könnte. Vielleicht weiß auch jemand noch eine Seite, wo man solches Zusammenfassen sich anschauen könnte. Irgendwie habe ich damit nämlich immer wieder Probleme.
Vielen Dank schon jetzt!
LG TryingHard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 So 26.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo TryingHrad!
Das funktioniert ohne Quotientenregel viel einfacher (schließlich haben wir im Nenner keine Variable):
$A(b) \ = \ [mm] \bruch{800*b-\pi*b^2}{4} [/mm] \ =\ [mm] \bruch{1}{4}*\left(800*b-\pi*b^2\right) [/mm] \ = \ [mm] 200*b-\bruch{\pi}{4}*b^2$
[/mm]
Und nun ganz einfach mit der  Potenzregel ...
> [mm]A'(b)=\bruch{(800-2\pi b)*4-(800b-\pi b^2)}{16}[/mm]
Dein Fehler liegt darin, dass Du die Ableitung des Nenners mit $(4)' \ = \ 0$ unterschlägst:
[mm]A'(b) \ = \ \bruch{(800-2\pi*b)*4-\left(800*b-\pi*b^2\right)*\red{0}}{16} \ = \ \bruch{(800-2\pi*b)*4}{16} \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 So 26.11.2006 | | Autor: | TryingHard |
Super Danke!
Hab's!
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