Extremwertaufg. zur Intergr. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 So 04.03.2007 | | Autor: | versager |
| Aufgabe | Die Funktion f hat die Gleichung f (x) = -x² + 4. Ihr Schaubild ist [mm] K_{f}.
[/mm]
[mm] K_{f}, [/mm] die y-Achse und die Tangente an [mm] K_{f} [/mm] im Punkt P ( u / f(u) ) mit u > 0 begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A= [mm] 1\3 [/mm] FE.
Berechnen sie u. |
Ich weis nicht so recht wie ich hier anfangen soll.
Könnte mir jemand einen Tipp geben ?!
vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 So 04.03.2007 | | Autor: | Leolo |
Hi,
das Rezept ist Prinzip einfach, auch wenn ich zu faul sein werde die Details zu rechnen. Zunächst ist [mm] -x^2+4 [/mm] eine nach unten offene Parabel. Die Tangente an (u, f(u)) u>0 hat die Steigung -2u. Mit Hilfe der Punktsteigungsform berechnest Du die Geradengleichung. Die m.E. sowas wie
y= -2ux +b
wobei Du das b erhältst, weil [mm] (u,-u^2+4) [/mm] auf der Geradenliegen muss, also
[mm] -u^2+4= -2u^2+b
[/mm]
gelten muss, somit
b= [mm] u^2+4
[/mm]
und die Geradengleichung ist
y= [mm] -2ux+u^2+4
[/mm]
(falls das stimmt). Den SP mit der y-Achse erhälst Du, indem du x=0 setzt, also [mm] (0,u^2+4). [/mm] Die Figur, die aus der Geraden vom SP mit der y-Achse bis (u,f(u)) gegeben ist, ist ein Dreieck plus ein Rechteck. Deren Inhalt lässt sich leicht ausrechnen. Davon ziehst Du die Parabelfläche ab, die gewinnst Du durch Integration. Bildet Du die Differenz der beiden Flächen, erhälst du die gesuchte Fläche in Abhänggigkeit von u. Die setzt du gleich 1 und löst nach u auf.
Liebe Grüße
Leo
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