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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:31 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | | Aus einem Kreis mit dem Radius 6cm soll das Netzt einer senkrechten quadratischen Pyramide mit möglichst großem Rauminhalt ausgeschnitten werden. |
Mal wieder eine Frage, die mir zuwenig Informationen enthält *g*
Also ich weiß das r = 6cm ist.
Denke daraus muss ich irgendwie meine Funktion kreieren ...
Habe dies so gemacht.
f(x) = y = [mm] \wurzel{36-x^2}
[/mm]
Bin mir nicht sicher ob dies richtig ist, da ich nicht genau wusste wie ich die Funktion aus den Informationen erstellen soll.
Aber gut.
Volumen Pyramide = [mm] \bruch{1}{3}a^2 [/mm] * h
V = [mm] \bruch{1}{3}x^2 [/mm] * y
Demnach:
V (x) = [mm] \bruch{1}{3}x^2 [/mm] * [mm] \wurzel{36-x^2}
[/mm]
Nun bilde ich die 1. Ableitung um das Maximum zu finden.
V'(x) = [mm] \bruch{-3x^3 + 72x}{3* \wurzel{36-x^2}}
[/mm]
V'(x) = 0
Dann bekomme ich als Extremstellen
x1 = 0
x2 = [mm] \wurzel{24}
[/mm]
x3 = [mm] -\wurzel{24}
[/mm]
Überprüfe nun ob es ein Maximum ist, und sehe, das bei x2 und x3 beim Einsetzen in v'' (x) < 0 rauskommt, was auf eine Maximalstelle schließen lässt.
Für x = [mm] \wurzel{24} [/mm] würde die quadratische Pyramide demnach einen möglichst großen Rauminhalt erhalten, welcher ausgeschnitten wird.
Ist dies so richtig?
Vielen Dank
Kristof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kristof!
Das stimmt so m.E. nicht. Mach' Dir zunächst eine Skizze mit einem Kreis sowie einem inneren Quadrat, dessen Mittelpunkt auf dem Kreismittelpunkt liegt.
An die Seiten des Quadrates zeichnest Du nun noch gleichschenklige Dreiecke, deren Spitze auf dem Kreis liegen. Das ist Dein Netz für die Pyramide, welches man nach dem Ausschneiden zur Pyramide zusammenklappen kann.
Nun musst Du hier mit etwas Geometrie die einzelnen Werte aufstellen. Zum Beispiel gilt ja mit $a \ = \ [mm] \text{Seitenlänge Grundfläche der Pyramide}$ [/mm] sowie [mm] $h_s [/mm] \ = \ [mm] \text{Seitenhöhe}$ [/mm] :
[mm] $$h_s+a+h_s [/mm] \ = \ [mm] a+2*h_s [/mm] \ = \ [mm] \red{2}*r$$
[/mm]
Ebenso gilt mit dem Satz des Pythagoras:
[mm] $$\left(\bruch{a}{2}\right)^2+h [/mm] \ = \ [mm] h_s^2$$
[/mm]
Dies nun etwas umformen und in die Volumenformel der Pyramide $V \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*G*h [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*a^2*h$ [/mm] einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Kristof |
Hab mich mal ein deine Hinweise gehalten,
und irgendwie ist die Rechnung dadurch um einiges leichter, also Ableiten etc. ;)
Hab es mir unnötig schwer gemacht, und dadurch auch falsch.
Nur ein's ist mir immernoch schleierhaft,
wie kommst du auf :
2r = a * 2hs ?
Umgeformt wäre das dann:
[mm] \bruch{2r - a}{2} [/mm] = h
Und in V (a) = [mm] \bruch{1}{3}a^2 [/mm] (6 - [mm] \bruch{a}{2})
[/mm]
V (a) = [mm] 2a^2 [/mm] - [mm] \bruch{a^3}{6}
[/mm]
Die Ableitung wäre:
V'(a) = 4a - [mm] \bruch{1}{2}a^2
[/mm]
a1 = 0
a2 = 8
Für 8 wäre es dann ein Maxiumum, da wenn man 8 in v'' einsetzt < 0 rauskommt.
So müsste es richtig sein oder?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kristof!
> wie kommst du auf :
>
> 2r = a * 2hs ?
Da gehört ein + hin: $2*r \ = \ a \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] 2*h_s$ [/mm] .
Das sollte aus Deiner skizze ersichtlich sein. Verwechsle hier aber nicht die Seitenhöhe [mm] $h_s$ [/mm] mit der Pyramidenhöhe $h_$ .
Denn das machst Du nachher ...
> Umgeformt wäre das dann:
>
> [mm]\bruch{2r - a}{2}[/mm] = h
Das ist die Seitenhöhe [mm] $h_s$ [/mm] !!
> Und in V (a) = [mm]\bruch{1}{3}a^2[/mm] (6 - [mm]\bruch{a}{2})[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Siehe meine Anmerkung zu Deiner Verwechslung!
Gruß
Loddar
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Hallo,
zur Illustration dessen, was Loddar sagt: ![[]](/images/popup.gif) die Pyramide
Gruß v. Angela
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