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Hallo erstmal,
also als ich mal wieder ein bisschen im Internet recherchiert habe (in einem Mathebuch sprang sie mir auch entgegen), ist mir eine Aufgabe entgegengesprungen, die ich wirklich gerne gelöst hätte, da ich aber Extremstellen im Unterricht noch nicht behandelt habe, würde ich gerne mal meinen Lösungsweg euch zeigen und hoffen, dass ihr mir sagen könnt wo der Fehler liegt, denn der Extrempunkt stimmt irgendwie nicht.
Es geht um die Aufgabe:
[mm] f(x)=(x^2-1)* \wurzel[2]{x}
[/mm]
Gesucht sind die Extremstellen:
Also da dies ja ein Produkt ist, würde ich ganz einfach die 1. Ableitung bilden.
dann erhalte ich
f(x)´=-1/2x^(1*1/2)+2*x* [mm] \wurzel[2]{x}
[/mm]
So, da der Ansteig von Extrempunkten immer 0 ist, würde ich einfach die Gleichung null setzen.
0=-1/2x^(1*1/2)+2*x* [mm] \wurzel[2]{x}
[/mm]
1/2x^(1*1/2)= 2*x* [mm] \wurzel[2]{x} [/mm]
An dem Punkt komme ich nicht wirklich weiter, da ich nicht weiß ob ich sofort quadrieren soll, was würdet ihr empfehlen, ich habe irgendwei jeglich mir erdenklichen Wege ausprobiert, kommt aber nicht wirklich etwas raus.
Also, bitte helft mir.
Liebe Grüße
searchgirl
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> Hallo erstmal,
Hallo auch von mir 
> also als ich mal wieder ein bisschen im Internet
> recherchiert habe (in einem Mathebuch sprang sie mir auch
> entgegen), ist mir eine Aufgabe entgegengesprungen, die ich
> wirklich gerne gelöst hätte, da ich aber Extremstellen im
> Unterricht noch nicht behandelt habe, würde ich gerne mal
> meinen Lösungsweg euch zeigen und hoffen, dass ihr mir
> sagen könnt wo der Fehler liegt, denn der Extrempunkt
> stimmt irgendwie nicht.
>
> Es geht um die Aufgabe:
> [mm] f(x)=(x^2-1)* \wurzel[2]{x}
[/mm]
>
> Gesucht sind die Extremstellen:
> Also da dies ja ein Produkt ist, würde ich ganz einfach
> die 1. Ableitung bilden.
> dann erhalte ich
> f(x)´=-1/2x^(1*1/2)+2*x* [mm] \wurzel[2]{x}
[/mm]
Also noch mal langsam, der WEg ist soweit richtig. Aber ich denke die Ableitung stimmt nicht ganz:
[mm] 2x*\wurzel{x} [/mm] - [mm] \bruch{x^{2}-1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
Da du, wie du richtig erkannt hast, die Produktregel anwenden musst.
f(x) = u(x) * v(x)
f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)
> So, da der Ansteig von Extrempunkten immer 0 ist, würde ich
> einfach die Gleichung null setzen.
Richtig
Vielleicht probierst du jetzt noch einmal aus, ob du auf ein ERgebnis kommst. Ansonsten kannst du ja noch mal nachfragen 
Gruß Patrick
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Hallo und danke für die schnelle Antwort,
also wenn ich ableite, dann erhalte ich für
[mm] f(x)=(x^2-1)*\wurzel[2]{x}
[/mm]
v(x)= [mm] x^2-1
[/mm]
v(x)´=2x
[mm] u(x)=\wurzel[2]{x}
[/mm]
u(x)'=1/2*x^(1/2)
so wie du ja richtig geschrieben hast, wende ich die Produktregel an, also:
(v*u´)+(v´*u)
= [mm] ((x^2-1)*1/2*x^{1/2})+(2*x*1/2*x^{1/2})
[/mm]
[mm] =-1/2*x^{1*1/2}+2*x*\wurzel[2]{x}
[/mm]
Aber wie würdet ihr jetzt weiter machen?
lg
searchgirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Do 20.10.2005 | | Autor: | Disap |
> Hallo und danke für die schnelle Antwort,
>
Hallo.
> also wenn ich ableite, dann erhalte ich für
>
> [mm]f(x)=(x^2-1)*\wurzel[2]{x}[/mm]
> v(x)= [mm]x^2-1[/mm]
> v(x)´=2x
>
> [mm]u(x)=\wurzel[2]{x}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> u(x)'=1/2*x^(1/2)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das stimmt leider nicht. Die Ableitung von
[mm] u(x)=\wurzel[2]{x}[/mm]
[/mm]
ist
u'(x) [mm] =1/2*x^{- 1/2}
[/mm]
>
> so wie du ja richtig geschrieben hast, wende ich die
> Produktregel an, also:
>
> (v*u´)+(v´*u)
> = [mm]((x^2-1)*1/2*x^{1/2})+(2*x*1/2*x^{1/2})[/mm]
> [mm]=-1/2*x^{1*1/2}+2*x*\wurzel[2]{x}[/mm]
>
Die Ableitung erscheint mir falsch, diese lautet:
f'(x)= [mm] \bruch{5x^2-1}{2 \wurzel{x}}
[/mm]
Das lässt sich dann auch wesentlich bequemer auflösen .
> Aber wie würdet ihr jetzt weiter machen?
Solche Wurzelspielchen sind eigentlich oftmals mit Potenzgesetzen verbunden. Zunächst einmal solltest du den Nenner beseitigen, also den gesamten Term mit dem Nenner multiplizieren. Und je nachdem was da herauskommt, die Potenzgesetze anwenden, um zu vereinfachen. Oder mal quadrieren. Denke, es ist das Beste, wenn du es einfach mal ausprobieren würdest, wenn du die Ableitung richtig gebildet hast.
> lg
> searchgirl
lg Disap
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Hi Disap,
also ich glaube ich stehe gerade au`m Schlauch. Ich hatte zwar bei der Ableitung von u, ein Minus vergessen, aber ich komme trotzdem noch immer zur selben Ableitun, vielleicht mache ich auch immer noch einen dummen Fehler.
Und wenn ich deine Ableitung anwende und null setze, auflöse, dann erhalte ich einen Wert von 0,83255.
Ah, im Moment bin ich ein wenig verzweifelt.
lg
searchgirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Do 20.10.2005 | | Autor: | Disap |
Hi searchgirl.
> also ich glaube ich stehe gerade au'm Schlauch. Ich hatte
> zwar bei der Ableitung von u, ein Minus vergessen, aber ich
> komme trotzdem noch immer zur selben Ableitun, vielleicht
> mache ich auch immer noch einen dummen Fehler.
Ne, es ist kein dummer Fehler. Es ist nur einer der kleinen Geheimnisse der Mathematik.
$ [mm] f(x)=(x^2-1)\cdot{} \wurzel[2]{x} [/mm] $
Mit den u, u', v und v', die wir bereits geklärt haben, müsstest du auf
f'(x) = [mm] \bruch{1x^{-0.5}}{2}(x^2-1)+2x*\wurzel[2]{x} [/mm]
Auf Grund der negativen Potenz kommt man auf:
= [mm] \bruch{1}{2x^{0.5}}(x^2-1)+2x*\wurzel[2]{x}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{x}}(x^2-1)+2x*\wurzel[2]{x}
[/mm]
Bruchrechnung liegt schon einige Zeit zurück, aber dieser term ist so eigentlich häßlich zum Auflösen. Also bringen wir den Ausdruck: [mm] 2x*\wurzel[2]{x} [/mm] auf dem selben Nenner (dieser lautet 2 [mm] \wurzel{x}).
[/mm]
Dann kommt man auf
[mm] \bruch{(x^2-1)+2x* \wurzel{x}* 2\wurzel{x}}{2 \wurzel{x}}
[/mm]
Und das halt ausrechnen. Dann kommst du auf die angegebene Ableitung:
f'(x)= $ [mm] \bruch{5x^2-1}{2 \wurzel{x}} [/mm] $
Und dann musst du das nur noch, wie du auch schon richtig erkannt hast, gleich Null setzen, um die Extrema zu berechnen (vergiss aber nicht die hinreichende Bedingung/den Vorzeichenwechsel)
[mm] 0=\bruch{5x^2-1}{2 \wurzel{x}} [/mm] | * 2 [mm] \wurzel{x}
[/mm]
0= [mm] 5x^2-1 [/mm]
Das musst du jetzt noch auflösen.
Vorsicht: Du wirst auch einen negativen X-Wert herausbekommen. Man beachte den Definitionsbereich.
> Und wenn ich deine Ableitung anwende und null setze,
> auflöse, dann erhalte ich einen Wert von 0,83255.
> Ah, im Moment bin ich ein wenig verzweifelt.
Grob gesagt kommt ungefähr die Hälfte davon heraus .
Nun alles klar?
> lg
> searchgirl
Schöne Grüße Disap
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Do 20.10.2005 | | Autor: | searchgirl |
hi disap,
vielen dank für deine antwort.
lg
searchgirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Do 20.10.2005 | | Autor: | Disap |
Hallo searchgirl.
> f(x)´=-1/2x^(1*1/2)+2*x* [mm]\wurzel[2]{x}[/mm]
Statt runde Klammern: ( ) zu benutzen, solltest du geschweifte Klammern: {} benutzen. Dadurch werden Potenzen dargestellt mit dem schönen Formeleditor: [mm] -1/2x^{1*1/2}.
[/mm]
Selber Quellcode, nur geänderte Klammern.
Grüsse Disap
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