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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extremstellen
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Extremstellen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 Mo 01.09.2014
Autor: Babybel73

Hallo zusammen

Wollte soeben folgende Aufgabe lösen:
Hat [mm] g|_M [/mm] ein globales Maximum? Falls ja, bestimmen Sie das Maximum.
g: [mm] \IR^2 \to \IR, g(x,y)=e^{x^2-y^2} [/mm]
M={ [mm] (x,y)\in \IR^2: e^{x^2+y^2}=2 [/mm] }


So nun zu dem was ich konnte:
Also ich habe mal [mm] h(x,y)=e^{x^2+y^2}-2 [/mm] gesetzt.

Dann gilt ja: grad f(x,y) = [mm] \lambda [/mm] * grad h(x,y) [mm] \gdw \begin{cases} 2xe^{x^2-y^2}=\lambda * 2xe^{x^2+y^2} \\ -2ye^{x^2-y^2}=\lambda * 2ye^{x^2+y^2} \end{cases} \gdw \begin{cases} e^{x^2-y^2}=\lambda*e^{x^2+y^2} \\ -e^{x^2-y^2}=\lambda*e^{x^2+y^2} \end{cases} \gdw \begin{cases} e^{-2y^2}= \lambda \\ -e^{-2y^2}= \lambda \end{cases} [/mm]

Damit muss gelten: [mm] -e^{-2y^2}= e^{-2y^2} [/mm] & dies gilt nur, wenn y=0^.

Damit die Nebenbedingung h(x) erfüllt ist, muss gelten:
[mm] e^{x^2+0}=2 \gdw [/mm] x= [mm] \pm \wurzel{ln(2)} [/mm]


Stimmt das bis hier hin???? Und wie schaue ich nun ob dies ein globales Maximum ist.

Liebe Grüsse
Babybel


        
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Extremstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Mo 01.09.2014
Autor: Nrjunkie

Das ist doch eine normale extremwertaufgabe mit einer nebenbedingungen

Daher aus der nebenbedingungen eine Variable durch die andere ausdrücken ( in unserem Fall zB [mm] $e^{x^2}$ [/mm] ) und dann die hauptfunktion wie eine extremwertaufgabe in einer Varablen behandeln

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Extremstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:26 Mo 01.09.2014
Autor: Babybel73

Hallo

Also meinst du nicht man sollte dies mit dem Lagrange Multiplikator berechnen?
Denn so mussten wir solche Aufgaben immer lösen....

Wenn ich es so machen würde, wie du gesagt hast, dann würde ich bei (x,y)=(2,0) ein Maximum erhalten.

Wo aber, war mein Fehler bei meiner Berechnung im ersten Post?

Liebe Grüsse

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Extremstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:33 Mo 01.09.2014
Autor: chrisno

Ich habe nichts geprüft, aber lass Dich nicht so schnell vom Lagrange Multiplikator abbringen.

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Extremstellen: Hmm.. nachgerechnet, aber: ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:14 Di 02.09.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo
>  
> Also meinst du nicht man sollte dies mit dem Lagrange
> Multiplikator berechnen?
> Denn so mussten wir solche Aufgaben immer lösen....

von *müssen* kann doch gar keine Rede sein - solange es der Aufgabensteller
in der Aufgabe nicht explizit verlangt.

> Wenn ich es so machen würde, wie du gesagt hast, dann
> würde ich bei (x,y)=(2,0) ein Maximum erhalten.

Ich rechne mal nach: Es war

g: [mm] \IR^2 \to \IR, g(x,y)=e^{x^2-y^2} [/mm]
[mm] M=\{ (x,y)\in \IR^2: e^{x^2+y^2}=2 \} [/mm]

Nun gilt $(x,y) [mm] \in [/mm] M$ [mm] $\iff$ $x^2=-y^2+\ln(2)\,.$ [/mm] Also betrachten wir

    $g|M$ mit [mm] $(g|M)(\,(x,y)\,)=:(g|M)(x,y)=g(x,y)=f(y):=e^{-2y^2+\ln(2)}=2e^{-2y^2}\,.$ [/mm]

Hier ist

    [mm] $f'(y)\stackrel{!}{=}0$ [/mm]

    [mm] $\iff$ $2e^{-2y^2}*(-4y)\stackrel{!}{=}0$ [/mm]

    [mm] $\iff$ $-8ye^{-2y^2}\stackrel{!}{=}0.$ [/mm]

In der Tat erhalten wir schonmal [mm] $y\stackrel{!}{=}0.$ [/mm]

Dass $f''(y)=0$ für [mm] $y=0\,$ [/mm] gilt, ist leicht einzusehen. Dennoch kann man sich
relativ leicht davon überzeugen, dass an [mm] $y=0\,$ [/mm] ein lokales Maximum vorliegt.

Da $(x,y)=(x,0) [mm] \in [/mm] M$ gelten muss, folgt

    [mm] $e^{x^2+0^2}=2\,.$ [/mm]

Das impliziert bzw. ist gleichwertig mit [mm] $x^2=\ln(2).$ [/mm] Wie kommst Du dann auf $(x,y)=(2,0)$?

Gruß,
  Marcel

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Extremstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:14 Di 02.09.2014
Autor: Babybel73

Hallo Marcel

Sorry, da habe ich mich wohl verrechnet.
Dann hast du ja dieselbe Lösung wie ich im ersten Post. Super! :)

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Extremstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:15 Di 02.09.2014
Autor: Nrjunkie


> Hallo zusammen
>
> Wollte soeben folgende Aufgabe lösen:
>  Hat [mm]g|_M[/mm] ein globales Maximum? Falls ja, bestimmen Sie das
> Maximum.
> g: [mm]\IR^2 \to \IR, g(x,y)=e^{x^2-y^2}[/mm]
>  M=[mm]\{(x,y)\in \IR^2: e^{x^2+y^2}=2\}[/mm]
>
>  
>
> So nun zu dem was ich konnte:
> Also ich habe mal [mm]h(x,y)=e^{x^2+y^2}-2[/mm] gesetzt.
>
> Dann gilt ja: grad f(x,y) = [mm]\lambda[/mm] * grad h(x,y) [mm]\gdw \begin{cases} 2xe^{x^2-y^2}=\lambda * 2xe^{x^2+y^2} \\ -2ye^{x^2-y^2}=\lambda * 2ye^{x^2+y^2} \end{cases} \gdw \begin{cases} e^{x^2-y^2}=\lambda*e^{x^2+y^2} \\ -e^{x^2-y^2}=\lambda*e^{x^2+y^2} \end{cases} \gdw \begin{cases} e^{-2y^2}= \lambda \\ -e^{-2y^2}= \lambda \end{cases}[/mm]
>  
> Damit muss gelten: [mm]-e^{-2y^2}= e^{-2y^2}[/mm] & dies gilt nur,
> wenn y=0^.

Bei $y=0$  wäre aber +1=-1

>  
> Damit die Nebenbedingung h(x) erfüllt ist, muss gelten:
> [mm]e^{x^2+0}=2 \gdw[/mm] x= [mm]\pm \wurzel{ln(2)}[/mm]
>  
>
> Stimmt das bis hier hin???? Und wie schaue ich nun ob dies
> ein globales Maximum ist.
>
> Liebe Grüsse
>  Babybel
>  


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Extremstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:10 Di 02.09.2014
Autor: chrisno

Da muss man ja auch zwei Schritte zurückgehen, weil da Umformungen gemacht wurden, die für die Fälle x = 0 oder y = 0 eine Sonderbetrachtung einfordern.

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