Extremstelle bestimmen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] f(x)=x^5-5x^3 [/mm] |
hallo,
Ich brauche hilfe bei dieser Aufgabe, komme nicht weiter. Wir müssen die Extremstellen bestimmen. Kann mir einer bitte helfen??
Danke schon mal an alle im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Dieter,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
Wo genau liegen denn die Probleme? Konkret bei dieser Funktion, oder doch eher allgemein?
Für die Bestimmung der Extrema ist es ein notwendiges Kriterium, dass die 1. Ableitung $f'(x)_$ gleich Null wird.
Du musst also zunächst die Ableitung bestimmen und anschließend davon die Nullstellen.
Diese ermittelten Werte [mm] $x_E$ [/mm] dann einsetzen in die 2. Ableitung $f''(x)_$ (hinreichendes Kriterium):
[mm] $f''(x_E) [/mm] \ > \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ $\text{Minimum}$
[/mm]
[mm] $f''(x_E) [/mm] \ < \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ $\text{Maximum}$
[/mm]
[mm] $f''(x_E) [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Vorerst keine Aussage möglich, dann muss man z.B. über den Nachweis des Vorzeichenwechsels der 1. Ableitung vorgehen.
Wie lauten denn nun die ersten beiden Ableitungen Deiner Funktion?
Gruß vom
Roadrunner
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danke dir für deine schnelle antwort!
ich habe die 1 und 2 Ableitung gebildet [mm] $f'(x)=5x^4-15x^2$, $f''(x)=20x^3-30x$. [/mm]
Wie soll ich weiter machen? Könntest du mir bitte den Ansatz für diese Aufgaben mal hinschreiben, bin voll am verzweifeln.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Di 25.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Dieterwiller.
> ich habe die 1 und 2 Ableitung gebildet [mm]f'(x)=5x^4-15x^2[/mm],
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]f''(x)=20x^3-30x[/mm].
> Wie soll ich weiter machen? Könntest du mir bitte den
> Ansatz für diese Aufgaben mal hinschreiben, bin voll am
> verzweifeln.
Du musst die erste Ableitung gleich null setzen, um einen x-Wert herauszubekommen, bei dem die Funktion die Steigung null besitzt.
$0 = [mm] 5x^4-15x^2$
[/mm]
Ausklammern
$0= [mm] 5x^2 (x^2-3)$
[/mm]
Das musst du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen, der besagt:
Ein Produkt wird null, wenn (mindestens) einer der Faktoren null wird.
Es gilt aus
[mm] $0=5x^2 \vee x^2-3 [/mm] = 0$
Wenn du dafür nun die X-Werte bestimmst, musst du sie noch in die zweite Ableitung einsetzen.
Es gelten die Bedingungen, die Roadrunner dir gesagt hat.
Aber beachte: Es liegt an der Stelle x=0 ein Sattelpunkt vor (Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Wendetangente, d. h. es liegt ein Wendepunkt mit der Steigung null vor). Das nennt man auch Terrassenpunkt.
Alles klar? Wenn nicht, kannst du ja noch einmal nachfragen.
LG
Disap
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so habe jetzt deinen Anweisungen gefolgt und habe den x wert in die 2.Ableitung eingesetzt und habe folgendes raus: [mm] 0=5x^2 [/mm] kommt raus 2,23 und -2,23 und bei [mm] x^2-3=0 [/mm] kommt 1,73 und - 1,73 raus.
Ich habe den Graphen gezeichnet und es besteht eine Minimum bei 1,73 und ein maximum bei - 1,73 und die anderen punkte sind nur nullstellen (2.23 und -2,23) und jetzt meine frage wie erkenne ich, dass es sich um Nullstellen handeln oder um ein Maximum oder Minimum?
laut Roadrunner:
$ [mm] f''(x_E) [/mm] \ > \ 0 $ $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ $ [mm] \text{Minimum} [/mm] $
$ [mm] f''(x_E) [/mm] \ < \ 0 $ $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ $ [mm] \text{Maximum} [/mm] $
bei den beiden Punkten kommt f''(2,23)=154,89 und f´´(-2,23)=-154,89 raus.
laut Roadrunner muss hier eine Extremstelle vorliegen ist aber nicht nur eine Nullstelle. Warum?
$ [mm] f''(x_E) [/mm] \ > \ 0 $ $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ $ [mm] \text{Minimum} [/mm] $
$ [mm] f''(x_E) [/mm] \ < \ 0 $ $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ $ [mm] \text{Maximum} [/mm] $
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Hallo.
Leider hast du dich ein wenig verrechnet:
> so habe jetzt deinen Anweisungen gefolgt und habe den x
> wert in die 2.Ableitung eingesetzt und habe folgendes raus:
> [mm]0=5x^2[/mm] kommt raus 2,23 und -2,23
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> und bei [mm]x^2-3=0[/mm] kommt 1,73
> und - 1,73 raus.
Du hast für [mm] 0=5x^2 [/mm] falsch umgeformt: Du musst nicht fünf nicht beidseitig subtrahieren sondern dividieren und erhältst [mm] x^2=0, [/mm] also x=0.
Deswegen sprach Roadrunner auch von der doppelten Nullstelle.
Also ist das, was du dann herausbekommen hast auch nicht ganz logisch:
> Ich habe den Graphen gezeichnet und es besteht eine
> Minimum bei 1,73 und ein maximum bei - 1,73 und die anderen
> punkte sind nur nullstellen (2.23 und -2,23) und jetzt
> meine frage wie erkenne ich, dass es sich um Nullstellen
> handeln oder um ein Maximum oder Minimum?
Die Sache mit dem Minimum und Maximum stimmt zwar, aber wie sieht es bei deinen angeblichen Nullstellen aus? Setz doch mal [mm] \wurzel{5} [/mm] in deine Gleichung ein, da wirst du sehen, dass du dich verrechnet hast.
> laut Roadrunner:
>
> [mm]f''(x_E) \ > \ 0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\text{Minimum}[/mm]
>
> [mm]f''(x_E) \ < \ 0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\text{Maximum}[/mm]
Genau
> bei den beiden Punkten kommt f''(2,23)=154,89 und
> f´´(-2,23)=-154,89 raus.
>
Das mag stimmen, ist aber aufgrund der falschen Werte irrelevant  Setzte hier doch mal 0 in die zweite Ableitung ein. Du erhältst leider [mm] f''(0)=0 [/mm]. Hier siehst du, dass du so kein Aussage über Minimum und Maximum machen kannst. Es liegt ein Sattelpunkt vor.
> laut Roadrunner muss hier eine Extremstelle vorliegen ist
> aber nicht nur eine Nullstelle. Warum?
>
> [mm]f''(x_E) \ > \ 0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\text{Minimum}[/mm]
>
> [mm]f''(x_E) \ < \ 0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\text{Maximum}[/mm]
>
Ich würde dir vorschlagen, einmal eine relativ genaue Zeichnung (vor allem um x=0 herum) mit ausführlicher Wertetabelle anzufertigen und dir anzuschauen, was die Kurve dort tut (wenn es kein Maximum und kein Minimum, aber die Steigung trotzdem gleich Null ist, muss ja irgendetwas besonderes vorliegen, nicht wahr?). Das hilft dir glaube ich eher, als alle Erklärungen.
Gruß,
San
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Danke an euch alle habe jetzt alles verstanden
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