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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Kufi |
Hallo, folgendes Problem: Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Höhe 5,5m und Breite 6,4m. Gesucht ist Höhe und Breite eines Rechteckes das im Dreieck liegt mit maximale Flächeninhalt.
Als Hauptbedingung habe ich A=a * b ( Fläche Rechteck)
und als Nebenbegingung Fläche vom Dreieck gewählt und nun sehe ich den Zusammenhang zwischen Fläche Dreick und Rechteck nicht. Einfach total verrannt. Hätte jemand einen kleinen Tip für mich. Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Kufi,
ich denk, ich hab 'n Tipp.
Leg' einmal in die Grundseite des Dreicks ein rechtwinkliges Koordinatensystem. P(0|0) soll dabei im Schnittpunkt der Grundseite mit der Höhe sein - sprich, deine Höhenlinie ist die Y-Achse (Ordinate).
Die eine Seite des Dreiecks wird demnach eine Steigungsgerade mit der Steigung m ( im Falle des 1. Quadranten ist sie negativ).
Deine Fläche vom Rechteck ist jetzt eine Funktion von der Dreieckseite...
probier es 'mal aus....
... ich wünsch dir viel Erfolg
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Hi, Kufi,
Du kannst die Aufgabe aber auch über den Strahlensatz (Vier-Strecken-Satz) lösen.
Ich bleibe mal bei den Bezeichnungen von Herby: A = a*b (***)
(a "Höhe" des Rechtecks, b "Breite").
Mit x bezeichne ich den Abstand der oberen Rechtecksseite b von der Dreiecksspitze C. Damit ist gleichzeitig: a = 5,5-x.
Aus dem Strahlensatz folgt: x : 5,5 = b : 6,4.
(Die Abstände paralleler Strecken verhalten sich genauso wie ihre Längen!)
Aufgelöst nach b:
b = [mm] \bruch{6,4}{5,5}*x.
[/mm]
Eingesetzt in die Flächenformel des Rechtecks:
A(x) = [mm] (5,5-x)*(\bruch{6,4}{5,5}*x) [/mm] = 6,4x - [mm] \bruch{6,4}{5,5}*x^2.
[/mm]
Die Extremstelle erhält man z.B. mit Hilfe der Ableitung:
A'(x) = 6,4 - [mm] \bruch{12,8}{5,5}*x
[/mm]
A'(x) = 0 <=> x = [mm] \bruch{6,4*5,5}{12,8} [/mm] = 2,75.
(also: genau die halbe Höhe!)
Da es sich beim Graphen der Funktion A(x) um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, muss es sich bei der vorliegenden Stelle x=2,75 um eine absolute Maximalstelle handeln.
Höhe des Rechtecks: a = 2,75 m.
Breite des Rechtecks: b = 3,2 m.
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