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Extremalproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:15 Sa 15.11.2008
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=(x^{2}-2x)*e^{0.5x} [/mm]

a)Wo schneidet der Graph von f die Winkelhalbierende des 1.Quadranten?

b)Wo schneidet der Graph der Funktion [mm] g(x)=e^{0.5x} [/mm] den Graphen von f?
Wie groß ist der Inhalt des von f ung g umschlossenen Flächenstücks B?

c)An welcher Stelle in dem umschlossenen Flächenstück B wird die Differenz der Funktionswerte von f und g maximal?

Hallo zusammen^^

Bei dieser Aufgabe hab ich eigentlich nur Probleme bei der c),trotzdem möchte ich sicher gehn ob ich die a) und b) auch richtig hab.

a) Ich hab [mm] (x^{2}-2x)*e^{0.5x}=x [/mm] nach x aufgelöst und hab x=2 rausbekommen.

b) Für die schnittstellen von f und g hab ich [mm] x_{1}=1+\wurzel{2} [/mm] und  [mm] x_{2}=1-\wurzel{2},für [/mm] den Inhalt muss ich ja folgendes Integral berechnen:

[mm] \integral_{1-\wurzel{2}}^{1+\wurzel{2}}{(x^{2}-2x)*e^{0.5x}-e^{0.5x} dx}=[2e^{0.5x}*(x^{2}-5x+4)-2e^{0.5x}] [/mm]

Für die Fläche hab ich dann 46.7 FE

c) Ich hab hier die differenzfunktion d(x) gebildet

[mm] d(x)=2e^{0.5x}*(x^{2}-5x+4)-2e^{0.5x} [/mm]

[mm] d'(x)=0.5e^{0.5x}*(x^{2}+2x-4)-0.5e^{0.5x} [/mm]

Diese hab ich =0 gesetzt und nach x aufgelöst,ich hab [mm] x_{1}=3.449 [/mm] und [mm] x_{2}=-1.449 [/mm] rausbekommen.
Das kann aber nicht stimmen,weil ja gefragt an welcher Stelle im umschlossenen Flächenstück die Differenz der Funktionswerte maximal wird,aber diese 2 Werte liegen außerhalb den Grenzen der umschlossenen Fläche ???

Ich hoffe ihr könnt mir helfen

lg
        
Bezug
Extremalproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Sa 15.11.2008
Autor: Zwerglein

Hi, Mandy,

> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=(x^{2}-2x)*e^{0.5x}[/mm]
>  
> a)Wo schneidet der Graph von f die Winkelhalbierende des
> 1.Quadranten?
>  
> b)Wo schneidet der Graph der Funktion [mm]g(x)=e^{0.5x}[/mm] den
> Graphen von f?
>  Wie groß ist der Inhalt des von f ung g umschlossenen
> Flächenstücks B?
>  
> c)An welcher Stelle in dem umschlossenen Flächenstück B
> wird die Differenz der Funktionswerte von f und g maximal?
>  
> Hallo zusammen^^
>  
> Bei dieser Aufgabe hab ich eigentlich nur Probleme bei der
> c),trotzdem möchte ich sicher gehn ob ich die a) und b)
> auch richtig hab.
>  
> a) Ich hab [mm](x^{2}-2x)*e^{0.5x}=x[/mm] nach x aufgelöst und hab
> x=2 rausbekommen.

[notok]

Ehrlich gesagt weiß ich auch nicht, wie Du den 2. Schnittpunkt (der erste ist ja der Nullpunkt) exakt rauskriegen willst; m.E. geht das nur näherungsweise, z.B. mit Hilfe des Newton-Verfahrens.
  
> b) Für die schnittstellen von f und g hab ich
> [mm]x_{1}=1+\wurzel{2}[/mm] und  [mm] x_{2}=1-\wurzel{2}, [/mm]

[ok]

> für den Inhalt muss ich ja folgendes Integral berechnen:
>  
> [mm]\integral_{1-\wurzel{2}}^{1+\wurzel{2}}{(x^{2}-2x)*e^{0.5x}-e^{0.5x} dx}=[2e^{0.5x}*(x^{2}-5x+4)-2e^{0.5x}][/mm]

Die Stammfunktion des ersten Teils ist falsch; richtig wäre:
[mm] 2e^{0.5x}*(x^{2}-6x+12) [/mm]

> Für die Fläche hab ich dann 46.7 FE
>  
> c) Ich hab hier die differenzfunktion d(x) gebildet
>
> [mm]d(x)=2e^{0.5x}*(x^{2}-5x+4)-2e^{0.5x}[/mm]

[notok]

Du hast nicht die Differenz der Funktionswerte von f und g genommen,
sondern die Differenz der Stammfunktionen!

mfG!
Zwerglein
Bezug
                
Bezug
Extremalproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 So 16.11.2008
Autor: Mandy_90


> Du hast nicht die Differenz der Funktionswerte von f und g
> genommen,
>  sondern die Differenz der Stammfunktionen!
>  

Ja stimmt,ich hab die Diffetenzfunktion nochmal gebildet:

d(x)=f(x)-g(x)

[mm] d(x)=x^{2}*e^{0.5x}-2xe^{0.5x}-e^{0.5x} [/mm]

[mm] d'(x)=0.5x^{2}*e^{0.5x}-xe^{0.5x}-0.5e^{0.5x}=e^{0.5x}*(0.5x^{2}-x-0.5) [/mm]

Für x krieg ich [mm] x_{1}=1+\wurzel{2} [/mm] und [mm] x_{1}=1-\wurzel{2} [/mm]

Das sind jetzt aber genau die Ränder von der umschlossenen Fläche,dann kann die Differenz der Funktionswerte doch nicht hier maximal sein?
Außerdem krieg ich für [mm] f''(x_{1},x_{2})>0 [/mm] raus,also kann es auch kein Maximum sein.
Ich versteh das nicht???

lg


Bezug
                        
Bezug
Extremalproblem: Produktregel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 So 16.11.2008
Autor: Loddar

Hallo Mandy!


Du musst für die einzelnen Terme der Differenzfunktion jeweils die MBProduktregel anwenden.


Gruß
Loddar

Bezug
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