Extrema v. Polynomen 3.ten Gra < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Giraffe |
Hallo,
alle kubischen Fkt., egal ob mit Öffnungsfaktor oder ob mit oder ohne y-Achsenabschnitt u. egal, ob mit "Mittelteil" oder ohne.
f(x) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] + 3
f(x) [mm] =2x^3 [/mm] + 4x
f(x) [mm] =-x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] - 6
f(x) [mm] =-4x^3+ x^2 [/mm] + 7x
f(x) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] 6x^2 [/mm] + x +1
So, diese so meine ich, vermutlich klassisch, nichts Exotisches.
Ich weiß nur, wie f(x) = [mm] x^3 [/mm] verläuft.
Kann ich nun daraus schließen, dass es keine kubische Fkt. gibt, die HP u. TP hat? Anders gefragt: haben alle Polynome dritten Grades einen Sattelpunkt?
Übrigens der Plotter-Tipp hat nicht funktioniert.
a) kann ich kein Englisch u.
b) stimmt evtl. an meiner PC-Einstellung etw. nicht.
Ich habe mich auch schon nach anderen umgeschaut, aber noch keinen gefunden, der nach Fkt-Eingabe auch zeichnet.
Für Hilfe im voraus schon mal an alle vielen DANK
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
> alle kubischen Fkt., egal ob mit Öffnungsfaktor oder ob
> mit oder ohne y-Achsenabschnitt u. egal, ob mit
> "Mittelteil" oder ohne.
> f(x) = [mm]x^3[/mm] + [mm]2x^2[/mm] + 3
> f(x) [mm]=2x^3[/mm] + 4x
> f(x) [mm]=-x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] - 6
> f(x) [mm]=-4x^3+ x^2[/mm] + 7x
> f(x) = [mm]x^3[/mm] + [mm]6x^2[/mm] + x +1
> So, diese so meine ich, vermutlich klassisch, nichts
> Exotisches.
> Ich weiß nur, wie f(x) = [mm]x^3[/mm] verläuft.
> Kann ich nun daraus schließen, dass es keine kubische Fkt.
> gibt, die HP u. TP hat? Anders gefragt: haben alle Polynome
> dritten Grades einen Sattelpunkt?
Nein, gewiss nicht. Es gibt drei grundsätzlich verschiedene Typen des Verlaufs: mit Sattelpunkt, mit Hoch-und Tiefpunkt und "ohne alles". Im untenstehenden Bild sind dies der dunkelrote [mm] ($y=x^3$), [/mm] der grüne [mm] ($y=x^3-x$) [/mm] bzw. der hellblaue Graph [mm] ($y=x^3+x$):
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Graph [mm] $y=x^3-x$ [/mm] hat also einen Hoch- und einen Tiefpunkt.
Dies sind alles Graphen von kubischen Funktionen, die für [mm] $x\rightarrow +\infty$ [/mm] gegen [mm] $+\infty$ [/mm] gehen. Dann gibt es noch entsprechende (vom qualitativen Verlauf her gesehen einfach an der $x$-Achse gespiegelte) Graphen von kubischen Funktionen, die für [mm] $x\rightarrow +\infty$ [/mm] gegen [mm] $-\infty$ [/mm] gehen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Giraffe |
Weil ich kein Java habe, war das Bild v. den grundsätzl. Typen der Polynome 3.ten Grades absolut hilfreich.
Vielen Dank an Abakus u. Grüße an irgendjemanden aus der Schwiez.
Frage:
Gibt es denn auch kubische, die nur einen Hochpkt. haben u. keinen TP oder umgekehrt? Gibt es das? Oder tauchen die Extrema immer als Bruder u. Schwester auf u. Einzelkinder gibt es nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Mo 24.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Weil ich kein Java habe, war das Bild v. den grundsätzl.
> Typen der Polynome 3.ten Grades absolut hilfreich.
> Vielen Dank an Abakus u. Grüße an irgendjemanden aus der
> Schwiez.
>
> Frage:
> Gibt es denn auch kubische, die nur einen Hochpkt. haben
> u. keinen TP oder umgekehrt? Gibt es das? Oder tauchen die
> Extrema immer als Bruder u. Schwester auf u. Einzelkinder
> gibt es nicht?
>
Hallo,
Graphen von Funktionen dritten Grades sind grundsätzlich punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt (der Punkt des Übergangs zwischen Links- und Rechtskurve). Damit gibt es zu jedem Hoch-/Tiefpunkt immer den jeweils anderen Punkt als Spiegelpunkt.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Di 25.03.2008 | | Autor: | Giraffe |
> Gibt es denn auch kubische Fkt, die nur ein einziges Extremum haben?
Def. WPwußte ich: mittig zwisch. Extrema.
Gleiches gilt f. Sattelp., nur ist seine Steig. null.
Klingt absolut logisch u. überzeugend, dass das mit der Erkärung der Punktsymetrie (immer wenn alle Exponenten ungerade sind). Wußte ich auch, aber ich habe beides bislang noch nicht gedanklich miteinander kombiniert. Danke f. den Superhinweis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Somebody |
> Weil ich kein Java habe, war das Bild v. den grundsätzl.
> Typen der Polynome 3.ten Grades absolut hilfreich.
> Vielen Dank an Abakus u. Grüße an irgendjemanden aus der
> Schwiez.
>
> Frage:
> Gibt es denn auch kubische, die nur einen Hochpkt. haben
> u. keinen TP oder umgekehrt? Gibt es das?
Nein.
> Oder tauchen die
> Extrema immer als Bruder u. Schwester auf u. Einzelkinder
> gibt es nicht?
Richtig: bei kubischen Funktionen gibt es dies nicht. Aber eine Polynomfunkion vom 4. Grad kann z.B. zwei Tiefpunkte und einen Hochpunkt (oder einen Tiefpunkt und zwei Hochpunkte oder nur einen Tief- bzw. nur einen Hochpunkt) besitzen. Aber: der Graph einer Polynomfunktion vom 4. Grad besitzt stets mindestens einen Extrempunkt.
Ein einziges Extremum kann es bei kubischen Funktionen nicht geben, weil eine Polynomfunktion von ungeradem Grad, wie etwa eine kubische Funktion, die Eigenschaft hat, dass sie entweder für [mm] $x\rightarrow \pm\infty$ [/mm] gegen [mm] $\pm \infty$ [/mm] oder für [mm] $x\rightarrow\pm \infty$ [/mm] gegen [mm] $\mp \infty$ [/mm] geht.
Eine Polynomfunktion, die nur ein einziges Extremum besitzt, muss von geradem Grad sein.
Man könnte auch über die Ableitung argumentieren. Aber ich bin nun nicht sicher, ob Du schon weisst, was man unter der Ableitung einer Funktion versteht - und aus welchen Eigenschaften der Ableitung einer Funktion man auf das Vorliegen (oder Nichtvorliegen) von Extrema schliessen kann. Die Ableitung einer kubischen Funktion ist nämlich eine quadratische Funktion. Diese Ableitung kann also nur keine, eine doppelte oder zwei einfache Nullstellen haben. Daraus folgt schon, dass die Funktion selbst keine Extrema, einen Sattelpunkt oder zwei Extrempunkte hat (wobei eines, wie gesagt, ein Hochpunkt und das andere ein Tiefpunkt sein muss).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Di 25.03.2008 | | Autor: | Giraffe |
Ich weiß, wie man x gegen unendlich liest u. spricht, aber die anderen da, ohne den "gegen-Pfeil" sagen mir nix. Aber das wird sich ändern, nicht alles auf einmal.
du: "....ich bin nun nicht sicher, ob Du schon weisst, was man unter der Ableitung versteht"
ich: Ableitg. heißt nix anderes als Steigung (grob gesagt).
Bei linear. Fkt. ist es der Quotient aus den Katheten des Steigungsdreiecks; die Variable m (Koeff.v. x).
Bei z.B. quadrat. Fkt., z.B. [mm] x^2 [/mm] gibt es nur einen einzigen Pkt, wo die Steig. null ist. Dort muss die Ableitg. Null ergeben.
Gleiches gilt für Sattelpunkte. Das habe ich vor kurzem erst entdeckt. Und das zu erkennen hat mir gr. Freude bereitet. Auch, als ich von irgendeiner Fkt. wußte, dass sie einen Sattelpkt. hat, habe ich die Bedingungen f. Extrema geändert:
f strich (x) = O UND f 2strich (x) = O
Und es kam hin u. paßte.
Was mein Gehirn allerdings z.Zt. noch übersteigt ist die Ableitung von der Ableitung.
Und ich plapper auch nur nach, was in den Büchern steht. Welcher Mensch hat sich das mit der Ableitung ausgedacht? Ich sag immer wieder: ein mathematischer Einstein. Einfach genial.
Aber, was ich nicht kann: Ich kann nicht erklären, warum das so ist. Das werde ich wahrscheinlich auch nie können. Mit den Beweisen hatte ich es noch nie so richtig. Obgleich das wahrscheinl. noch etw. anderes ist, als es nur zu erklären.
du: ".... aus welchen Eigenschaften der Ableitung man auf das Vorliegen (oder Nichtvorliegen) von Extrema schliessen kann."
ich: Da fehlt mir allerdings Übung. Ich hatte neulich so eine Aufg.: Die x-Koordinate eines Punktes einer Fkt. war gegeben u. eine Tangente hatte die gleiche Koordinate. Wie heißt die Tangente?
Auf den Steigungs-Faktor m bin ich gekommen, weil ich mir einbilde, ich hätte es begriffen, was Ableitung bedeutet, aber das b (y-Achs.-Abschnitt) habe ich nicht rausgekriegt, trotz gleichsetzen beider Funktionen hatte ich immer 2 Unbekannte.
du: ".... aus welchen Eigenschaften der Ableitung man auf das Vorliegen (oder Nichtvorliegen) von Extrema schliessen kann."
Sie gestatten, ich versuchs trotzdem mal:
Eigenschaft der Ableitung: y muss null sein, dann liegt ein Scheitelpunkt vor (dopp.Nullst).
Eig.schft d. Ableitg einer kubischen Fkt. muss null sein, dann erhalte ich (manchmal) zwei x-Werte, aber nun ist noch die Frage, ob es sich um HP u. TP überhaupt handelt. Wenn die zweite Ableitung nämlich auch null ist habe ich keine Extrema, sond. einen Sattelp.
du:"....Ableitung einer kubischen Funktion ist nämlich eine quadratische Funktion."
ich: Wußte ich nicht, sehr gut zu wissen, aber mich wundert es nicht u. ein bißchen habe ich das schon gedacht, da ich einmal von einer Parabel die Ableitung dazu gezeichnet habe. Und genau das liebe ich an der Mathe - diese Systematik.
du: "Die Ableitung einer kubischen Funktion ist nämlich eine quadratische Funktion.
Wie blöd u. zu doof: Klar, nix anderes habe ich doch die ganze Zeit gemacht, wenn ich abgeleitet habe. Der Exponent verringert sich immer um genau 1.
Aber praktisch vorgestellt habe ich es mir zum ersten Mal eben gerade. Thanks a lot for all!!!
Und wer da nun wann was hat u. wer nicht, das muss ich nochmal richtig studieren.
Vielen Dank für alle Infos! Von dir war die Grafik mit den 3 Typen oder? Die habe ich mir heute in Farbe im Copy-Shop ausdrucken lassen. Sowas ist wichtig zu wissen. Das war verdammt gut. Danke nochmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Mo 24.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> alle kubischen Fkt., egal ob mit Öffnungsfaktor oder ob
> mit oder ohne y-Achsenabschnitt u. egal, ob mit
> "Mittelteil" oder ohne.
> f(x) = [mm]x^3[/mm] + [mm]2x^2[/mm] + 3
> f(x) [mm]=2x^3[/mm] + 4x
> f(x) [mm]=-x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] - 6
> f(x) [mm]=-4x^3+ x^2[/mm] + 7x
> f(x) = [mm]x^3[/mm] + [mm]6x^2[/mm] + x +1
> So, diese so meine ich, vermutlich klassisch, nichts
> Exotisches.
> Ich weiß nur, wie f(x) = [mm]x^3[/mm] verläuft.
> Kann ich nun daraus schließen, dass es keine kubische Fkt.
> gibt, die HP u. TP hat? Anders gefragt: haben alle Polynome
> dritten Grades einen Sattelpunkt?
Hallo,
haben sie nicht. Sollte auf deinem Rechner JAVA installiert sein, kannst du auf folgender Seite die Parametereinflüsse auf den Kurvenverlauf direkt untersuchen:
![[]](/images/popup.gif) www.geogebra.org/de/examples/poly3/poly3_1.html
Viele Grüße
Abakus
> Übrigens der Plotter-Tipp hat nicht funktioniert.
> a) kann ich kein Englisch u.
> b) stimmt evtl. an meiner PC-Einstellung etw. nicht.
> Ich habe mich auch schon nach anderen umgeschaut, aber
> noch keinen gefunden, der nach Fkt-Eingabe auch zeichnet.
> Für Hilfe im voraus schon mal an alle vielen DANK
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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