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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Extrema einer e-Funktion

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Extrema einer e-Funktion: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	14:11 So 17.10.2010
Autor:	tj92

Hallo. Könntet ihr mir bitte helfen die Extrema folgender Funktion zu bestimmen?
f(x)= [mm] \bruch{1}{2}e^{x}+2e^{-x} [/mm]
Natürlich weiß ich, wie ich vorgehen soll:
1. notwendiges Kriterium: [mm] f'(x)\not=0 [/mm]
   f'(x)= [mm] \bruch{1}{2}e^{x}-2e^{-x} [/mm]
     0  = [mm] \bruch{1}{2}e^{x}-2e^{-x} [/mm]
Nun zu meinem Problem: Die Werte einer e-Funktion können doch nicht den Wert Null annehmen, da [mm] e^x>0 [/mm] (korrekt?). Weil ich zwei e-Terme (nämlich [mm] \bruch{1}{2}e^{x} [/mm] und -2e^(-x)) in f(x) vorliegen habe, kann die Funktion rein theoretische keine Extrema besitzen. Wenn ich den Graphen allerdings in einem Koordinatensystem darstelle, erkennt man einen deutlichen Tiefpunkt. Also habe ich versucht die Funktion zu lösen:
          0  = [mm] \bruch{1}{2}e^{x}-2e^{-x} [/mm] | + 2e^(-x)
      2e^(x) = [mm] \bruch{1}{2}e^{x} [/mm] | ln
ln(2) * (-x) = ln(0,5) * x | :ln(2)
          -x = -x
Super! Ein klares Ergebnis, das mir dennoch nichts bringt. Was habe ich falsch gemacht? Wie sollte ich vorgehen?

Bezug

Extrema einer e-Funktion: Korrektur + Hinweise

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	14:17 So 17.10.2010
Autor:	Loddar

Hallo tj92!

>  1. notwendiges Kriterium: [mm]f'(x)\not=0[/mm]

Du meinst hier mit Sicherheit [mm]f'(x) \ \red{=} \ 0[/mm] , oder?

>     f'(x)= [mm]\bruch{1}{2}e^{x}-2e^{-x}[/mm]
>       0  = [mm]\bruch{1}{2}e^{x}-2e^{-x}[/mm]

> Nun zu meinem Problem: Die Werte einer e-Funktion können
> doch nicht den Wert Null annehmen, da [mm]e^x>0[/mm] (korrekt?).

> Weil ich zwei e-Terme (nämlich [mm]\bruch{1}{2}e^{x}[/mm] und -2e^(-x)) in f(x)
> vorliegen habe, kann die Funktion rein theoretische keine Extrema
> besitzen.

Bedenke, dass zwischen den beiden Termen ein Minsuzeichen steht.

Multipliziere die gleichung mal mit [mm]2*e^x[/mm] .

> Also habe ich versucht die Funktion zu lösen:
>            0  = [mm]\bruch{1}{2}e^{x}-2e^{-x}[/mm] | + 2e^(-x)
>        2e^(x) = [mm]\bruch{1}{2}e^{x}[/mm] | ln
>  ln(2) * (-x) = ln(0,5) * x | :ln(2)

Hier wendest Du ein vermeintliches

Logarithmusgesetz falsch an.

Gruß
Loddar

PS: Auch die Gleichung [mm]+x \ = \ -x[/mm] hat mit [mm]x \ = \ 0[/mm] eine eindeutige Lösung!