Extrema bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:34 Fr 16.07.2010 | | Autor: | can19 |
| Aufgabe | Sei [mm] \{f(x,y)=x+y} [/mm] für [mm] 0\le [/mm] x, [mm] y\le [/mm] 1
f besitze im Punkt(1,1) ein lokales Maximum, es ist jedoch [mm] gradf(1,1)\not=1 [/mm] |
leider weiß ich nicht wie man auf die obige lösung kommt.
wie muss man hier vorgehen?
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Hallo Alicia,
> leider weiß ich nicht wie man auf die obige lösung
> kommt.
Ok. Aber was weißt Du denn sonst über Funktionen zweier Veränderlicher?
Wie findet man ein Maximum? Wann ist es lokal, wann global?
Und wie ist der Gradient definiert? Was besagt denn die Aussage, dass er an der zu untersuchenden Stelle [mm] \not=1 [/mm] ist? Und stimmt die überhaupt?
Ein bisschen mehr Eigenvorlage musst Du schon geben.
Wir helfen Dir gerne, lösen aber nicht Deine Aufgabe.
Also: versuch doch mal, wie weit Du kommst!
Herzliche Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Fr 16.07.2010 | | Autor: | can19 |
erst mal danke für die hinweise!
also um die obigen fragen zu beantworten:
globale extrema: diesbezüglich betrachtet man die ganze funktion, man schaut wo der größte bzw. kleinste wert der funktion angenommen wird, insbesondere untersucht man hier randpunkte
lokale extrema: man schaut sich ein bestimmtes intervall an. ein lokales extremum ist ein punkt der funktion, in dessen umgebung kein größerer bzw. kleinerer wert angenommen wird.
wie man extrema bestimmt:
man leitet zunächst partiell ab, setzt die ableitung gleich null, damit bestimmt man die kritischen punkte. dh. ein innerer punkt a von X hat höchstens dann die chance, stelle eines lokalen extremums von f zu sein, wenn er eine kritische stelle von f ist--> gradf(a)=0 dies ist eine notwendige bedingung.
und in der obigen aufgabe ist gradf(x,y)=1 und nicht [mm] \not=0
[/mm]
aber da es sich um einen randpunkt handelt, kann der punkt (1,1) wohl stelle eines lokalen extremums sein, ohne dass er eine kritische stelle ist.
leitet man partiell ab erhält man:
[mm] \{f_x(x,y)=1}
[/mm]
[mm] \{f_y(x,y)=1}
[/mm]
draus lässt sich schließen, dass gradf nicht null werden kann, und somit besitzt diese funktion weder lokale noch globale extrama im inneren.
mit [mm] 0\le [/mm] x und [mm] y\le [/mm] 1 werden die randpunkte untersucht:
demnach wird die funktion lokal maximal bei (1,1).
ist das soweit richtig?
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Guten Tag Alicia,
> erst mal danke für die hinweise!
> also um die obigen fragen zu beantworten:
>
> globale extrema: diesbezüglich betrachtet man die ganze
> funktion, man schaut wo der größte bzw. kleinste wert der
> funktion angenommen wird, insbesondere untersucht man hier
> randpunkte ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
.... man untersucht auch Randpunkte ...
> lokale extrema: man schaut sich ein bestimmtes intervall
> an. ein lokales extremum ist ein punkt der funktion, in
> dessen umgebung kein größerer bzw. kleinerer wert
> angenommen wird.
>
> wie man extrema bestimmt:
> man leitet zunächst partiell ab, setzt die ableitung
> gleich null, damit bestimmt man die kritischen punkte. dh.
> ein innerer punkt a von X hat höchstens dann die chance,
> stelle eines lokalen extremums von f zu sein, wenn er eine
> kritische stelle von f ist--> gradf(a)=0 dies ist eine
> notwendige bedingung.
mit der Null auf der rechten Seite der Gleichung ist
dabei eine "vektorielle" Null der passenden Dimension
gemeint, im vorliegenden Fall also [mm] \vektor{0\\0}
[/mm]
> und in der obigen aufgabe ist gradf(x,y)=1 und nicht
> [mm]\not=0[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
in dem Beispiel ist [mm] grad(f)(x,y)=\overrightarrow{\nabla} f(x,y)=\vektor{1\\1}
[/mm]
> aber da es sich um einen randpunkt handelt, kann der punkt
> (1,1) wohl stelle eines lokalen extremums sein, ohne dass
> er eine kritische stelle ist.
... ist er aber nicht, da die Funktionswerte entlang der
Randlinie, welche durch P(1,1) verläuft, zunehmen
gemäß [mm] f_x(1,1)=1 [/mm] !
Genau aus diesem Grund habe ich nach zusätzlichen
Einschränkungen des Definitionsbereiches gefragt.
Hätte man nämlich z.B. noch die Ungleichung [mm] x\le{1} [/mm] ,
dann wäre P als rechter oberer Eckpunkt nämlich die
Stelle eines lokalen und globalen Maximums mit dem
Wert $\ [mm] f_{max}\ [/mm] =\ f(1,1)\ =\ 1+1\ =\ 2$
> leitet man partiell ab erhält man:
> [mm]\{f_x(x,y)=1}[/mm]
> [mm]\{f_y(x,y)=1}[/mm]
> draus lässt sich schließen, dass gradf nicht null werden
> kann, und somit besitzt diese funktion weder lokale noch
> globale extrama im inneren.
> mit [mm]0\le[/mm] x und [mm]y\le[/mm] 1 werden die randpunkte untersucht:
> demnach wird die funktion lokal maximal bei (1,1). ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> ist das soweit richtig?
LG Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Fr 16.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]\{f(x,y)=x+y}[/mm] für [mm]0\le[/mm] x, [mm]y\le[/mm] 1
> f besitze im Punkt(1,1) ein lokales Maximum, es ist jedoch
> [mm]gradf(1,1)\not=1[/mm]
> leider weiß ich nicht wie man auf die obige lösung
> kommt.
> wie muss man hier vorgehen?
Hallo,
wenn du statt f(x,y)=x+y mal schreibst
z=x+y
oder noch besser x+y-z=0, so wirst du merken, dass es sich um die Gleichung einer (geneigten) Ebene handelt. Wegen der Beschränkung des Definitionsbereichs ist P(1,1) ein Randpunkt. (Das nur so als Hinweis zur geometrischen Situation.)
Gruß Abakus
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> Sei [mm]\{f(x,y)=x+y}[/mm] für [mm]0\le[/mm] x, [mm]y\le[/mm] 1
> f besitze im Punkt(1,1) ein lokales Maximum, es ist jedoch
> [mm]gradf(1,1)\not=1[/mm]
> leider weiß ich nicht wie man auf die obige lösung
> kommt.
> wie muss man hier vorgehen?
Hallo can19,
ich frage mich, ob du die Aufgabe wirklich richtig wieder-
gegeben hast.
1.) gibt es wirklich nur die zwei angegebenen Ungleichungen ?
steht da nicht z.B. $\ [mm] 0\le x\le [/mm] 1$ ?
Andernfalls kann ich mir bei der Angabe, dass in (1,1) ein
lokales Maximum vorliege, nichts vernünftiges vorstellen.
2.) gradf(1,1) kann ganz bestimmt niemals gleich 1 sein, denn
gradf(1,1) ist ein Vektor mit 2 Komponenten
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Fr 16.07.2010 | | Autor: | can19 |
nein es gibt keine weiteren einschränkungen im definitionsbereich.
lg
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> nein es gibt keine weiteren einschränkungen im
> definitionsbereich.
>
> lg
Hallo can19,
In diesem Fall finde ich die "Aufgabe" einen ziemlichen
Quark.
Weder die Aussage (oder Voraussetzung ?) über ein
lokales Maximum in P(1,1) noch die Aussage über den
Gradienten machen Sinn.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Sa 17.07.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu Al,
"Quark" ist da ein unpassender Ausdruck, die Aussage ist dann schlichtweg falsch und sollte auch direkte als solche betitelt werden 
MFG,
Gono.
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> Huhu Al,
>
> "Quark" ist da ein unpassender Ausdruck, die Aussage ist
> dann schlichtweg falsch und sollte auch direkte als solche
> betitelt werden
>
> MFG,
> Gono.
Die "Aussage" ist eben nicht einmal falsch, sondern unsinnig.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Sa 17.07.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Ach du meinst das mit dem $grad = 1$, ja das macht relativ wenig Sinn und ist Quark.
Das mit dem Maximum ist schlichtweg falsch, denn die Funktion besitzt dort kein lokales Maximum.... das meinte ich damit.
Wobei, da sie rein faktisch von einer falschen Annahme ausgehen, kann man daraus auch alles folgern 
MFG,
Gono.
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