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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: [mm] \IR [/mm] ² --> [mm] \IR [/mm] mit f(x, y) = y² (8x - 32) + 4x² - 40x
1. Bestimmen Sie alle lokalen Extrema und deren Typ.
2. Bestimmen Sie weiters alle globalen Extrema, die im Inneren oder am Rand des Kreises mit Radius 6 um den Punkt (x, y) = (0, 0) liegen. |
Hallo!
Ich kenn mich hier leider nicht so richtig aus und wäre für jede HIlfe sehr dankbar.
Also cih hab mal probiert folgendermaßen zu rechnen (ad Punkt 1), weiß aber nicht ob das so richtig ist....
ZUerst mal die ABleitungen:
fx = 8y² + 8x -40
fxx = 8
fy = 16xy - 64 y
fyy = 16x - 64
fxy = 16y
Da ja um meine Extrempunkte ausrechnen zu können die erste Ableitung 0 sein muss, hab ich das mal gemacht.
I ) fx = 0 = 8y² + 8x -40
und weiters muss
II) fy = 0 = 16 xy - 64 y
hab mal an genommen : 16y(x - 4y) = o ....da wäre sann x =1 und y = 0
das in I) eingesetzt mit y = 0 --> x=5
das in I) mit x= 1 eingesetzt würde y = -2 ergeben.
Ich hab also meine kritischen Punkte
P (5/0)
Q (1/2)
R (1/ -2) oder?
für einen relativen Extremwert muss doch gelten :
[mm] \Delta [/mm] = fxx * fyy - f²xy mit >0 rel. extrempunkt und <0 Sattelpunkt. oder?
da würd bei mir 128x - 512 - 256 y² rauskommen.
nun hab ich die punkte eingesetzt
[mm] \Delta [/mm] P = 128
[mm] \Delta [/mm] Q= -1408
[mm] \Delta [/mm] R = _1408
also wäre [mm] \Delta [/mm] P ein relativer Extrempunkt
fxx (p) = 8 --> rel. Minimum
ISt das richtig so???
ad 2)
hier hab ihc ja die RAndbedingung gegeben, dass es sich um eine Kreisgleichung handelt: also x² + y² = 36
also muss ich doch Lagrange anwenden, oder?
grad f: (8y² + 8x - 40) (16yx - 64 y)
grad g: 2x 2y
0 = grad f + [mm] \lambda [/mm] grad g
I) 8y² + 8x - 40 + 2 [mm] \lambda [/mm] x = 0
ii) 16yx - 64 y + 2 [mm] \lambda [/mm] y = 0
iii) x² + y² =36
hab gleichung zwei von eins abgezogen.
da würd ich dann rausbekommen y² = (2yx - x + 32y)
ja uns jetzt steh ich an, weil wenn ich das in die Kreisgleichung einsetz, kommt nihcts gutes dabei raus udn ich weiß nicht wie ich mit meinen gefundenen x werten dann das globale Extremum bestimmen soll.
Wäre dankbar für jegliche Hilfe!!
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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Hallo wuzikrapuzi,
> Gegeben sei die Funktion f: [mm]\IR[/mm] ² --> [mm]\IR[/mm] mit f(x, y) = y²
> (8x - 32) + 4x² - 40x
>
> 1. Bestimmen Sie alle lokalen Extrema und deren Typ.
> 2. Bestimmen Sie weiters alle globalen Extrema, die im
> Inneren oder am Rand des Kreises mit Radius 6 um den Punkt
> (x, y) = (0, 0) liegen.
> Hallo!
> Ich kenn mich hier leider nicht so richtig aus und wäre
> für jede HIlfe sehr dankbar.
>
> Also cih hab mal probiert folgendermaßen zu rechnen (ad
> Punkt 1), weiß aber nicht ob das so richtig ist....
>
> ZUerst mal die ABleitungen:
>
> fx = 8y² + 8x -40
> fxx = 8
>
> fy = 16xy - 64 y
> fyy = 16x - 64
>
> fxy = 16y
>
> Da ja um meine Extrempunkte ausrechnen zu können die erste
> Ableitung 0 sein muss, hab ich das mal gemacht.
>
> I ) fx = 0 = 8y² + 8x -40
>
> und weiters muss
>
> II) fy = 0 = 16 xy - 64 y
>
> hab mal an genommen : 16y(x - 4y) = o ....da wäre sann x
> =1 und y = 0
>
> das in I) eingesetzt mit y = 0 --> x=5
>
> das in I) mit x= 1 eingesetzt würde y = -2 ergeben.
>
> Ich hab also meine kritischen Punkte
>
> P (5/0)
Dies stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Q (1/2)
> R (1/ -2) oder?
Die hier nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> für einen relativen Extremwert muss doch gelten :
>
> [mm]\Delta[/mm] = fxx * fyy - f²xy mit >0 rel. extrempunkt und <0
> Sattelpunkt. oder?
>
> da würd bei mir 128x - 512 - 256 y² rauskommen.
>
> nun hab ich die punkte eingesetzt
>
> [mm]\Delta[/mm] P = 128
> [mm]\Delta[/mm] Q= -1408
> [mm]\Delta[/mm] R = _1408
>
> also wäre [mm]\Delta[/mm] P ein relativer Extrempunkt
>
> fxx (p) = 8 --> rel. Minimum
>
> ISt das richtig so???
>
> ad 2)
>
> hier hab ihc ja die RAndbedingung gegeben, dass es sich um
> eine Kreisgleichung handelt: also x² + y² = 36
>
> also muss ich doch Lagrange anwenden, oder?
Ja.
>
> grad f: (8y² + 8x - 40) (16yx - 64 y)
> grad g: 2x 2y
>
> 0 = grad f + [mm]\lambda[/mm] grad g
>
> I) 8y² + 8x - 40 + 2 [mm]\lambda[/mm] x = 0
> ii) 16yx - 64 y + 2 [mm]\lambda[/mm] y = 0
> iii) x² + y² =36
>
> hab gleichung zwei von eins abgezogen.
>
> da würd ich dann rausbekommen y² = (2yx - x + 32y)
>
> ja uns jetzt steh ich an, weil wenn ich das in die
> Kreisgleichung einsetz, kommt nihcts gutes dabei raus udn
> ich weiß nicht wie ich mit meinen gefundenen x werten dann
> das globale Extremum bestimmen soll.
Löse z.B. Gleichung I nach u auf, setze dies in Gleichung II ein.
Löse diese Gleichung II nach y auf und setze das Ergebnis in Gleichung III ein.
Du erhältst jeweils eine quadratische Gleichung für x.
>
> Wäre dankbar für jegliche Hilfe!!
>
> Vielen Dank
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
Gruß
MathePower
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ok....ich glaub ich steh jetzt etwas auf der leitung.
bezüglich meinen Punkten Q und R.
Ich muss doch einmal meinen aus Gleichung zwei berechneten x - wert und einmal meine y - wert in Gleichung I einsetzen oder?
alsp Punkt p ist richtig. (den hab ich durch das y berechnet)
aber wenn ich x = 1 in meine Gleichung II einsetzte. erhalte ich : 8 y² + 8 *1 - 40= 0. weiters wäre das y² = [mm] \wurzel{4} [/mm] also y= +/- 2
oder hab ich da was falsch verstanden....??
ad 2) ich weiß da leider auch nicht so genau was ich da u setzen soll...ich hab da ja dann 3 unbekannte, also x,y und [mm] \lambda. [/mm] oder soll ich y² = (2xy - x + 32 y) u setzen?
ich hoff ich hab mich da jetzt nicht zu blöd angestellt :/
danke schon mal!!
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Hallo wuzikrapuzi,
> ok....ich glaub ich steh jetzt etwas auf der leitung.
> bezüglich meinen Punkten Q und R.
>
> Ich muss doch einmal meinen aus Gleichung zwei berechneten
> x - wert und einmal meine y - wert in Gleichung I einsetzen
> oder?
>
> alsp Punkt p ist richtig. (den hab ich durch das y
> berechnet)
>
> aber wenn ich x = 1 in meine Gleichung II einsetzte.
> erhalte ich : 8 y² + 8 *1 - 40= 0. weiters wäre das y² =
> [mm]\wurzel{4}[/mm] also y= +/- 2
[mm]x=1[/mm] ist kein Kandidat für ein mögliches Extrema.
>
> oder hab ich da was falsch verstanden....??
Aus [mm]f_{y}=16xy-64y=16y*\left(x-4\right)=0[/mm] folgt
[mm]y=0[/mm] oder [mm]x=4[/mm]
Dies setzt Du jetzt in [mm]f_{x}=8*y^{2}+8x-40=0[/mm] ein,
und erhältst den entsprechenden x- bzw. y-Wert.
>
> ad 2) ich weiß da leider auch nicht so genau was ich da u
> setzen soll...ich hab da ja dann 3 unbekannte, also x,y und
> [mm]\lambda.[/mm] oder soll ich y² = (2xy - x + 32 y) u setzen?
Löse Gleichung I nach u auf:
[mm]8*y^{2}+8*x-40+2*u*x=0 \Rightarrow u=\ \dots [/mm]
Eingesetzt in Gleichung II und aufgelöst nach y:
[mm]16xy-64y+2*u*y=0 \Rightarrow y= \ \dots [/mm]
Diese Lösungen in Gleichung III eingesetzt, ergibt:
[mm]x^{2}+y^{2}-36=0 \Rightarrow \ x= \ \dots[/mm]
>
> ich hoff ich hab mich da jetzt nicht zu blöd angestellt :/
>
> danke schon mal!!
Gruß
MathePower
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ad 1)
ok, also mit y=0 oder x = 4 in die Gleichung eingesetzt erhalte ich für
y=0 8x = 40 --> x=5
und für
x=4 8y² + 8*4 - 40 = 0 --> y = +/- 1
also sind meine punkte: (5/0), (4/1) und (4/-1) ?
ad 2)
ich bekomm für u : u = (20 - 4x - 4y²) / x
eingesetzt in 8x - 32 + u = 0 (hab die gleichung durch y dividiert)
y² = 2x² - 9x +5
eingesetzt in die Kreisgleichung : x² + (2x² - 9x +5) - 36 = 0
ich erhalte für x: 5.05 und -2.05
stimmt das soweit?
und wie mach ich jetzt weiter? also wie bestimme ich wo ich ein globales Extremum habe???
DAnke!!!!
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Hallo wuzikrapuzi,
> ad 1)
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> ok, also mit y=0 oder x = 4 in die Gleichung eingesetzt
> erhalte ich für
>
> y=0 8x = 40 --> x=5
>
> und für
>
> x=4 8y² + 8*4 - 40 = 0 --> y = +/- 1
>
> also sind meine punkte: (5/0), (4/1) und (4/-1) ?
>
Ja.
>
> ad 2)
>
> ich bekomm für u : u = (20 - 4x - 4y²) / x
>
> eingesetzt in 8x - 32 + u = 0 (hab die gleichung durch y
> dividiert)
Da gehen Dir mögliche Lösungen verloren.
[mm]y=0[/mm] ist auch ein Kandidat für ein Extremum.
>
> y² = 2x² - 9x +5
>
> eingesetzt in die Kreisgleichung : x² + (2x² - 9x +5) - 36
> = 0
>
> ich erhalte für x: 5.05 und -2.05
[mm]x_{1}=\bruch{9-\wurzel{453}}{6}, \ x_{2}=\bruch{9+\wurzel{453}}{6}[/mm]
>
> stimmt das soweit?
Ja. .
>
> und wie mach ich jetzt weiter? also wie bestimme ich wo ich
> ein globales Extremum habe???
Erstmal die x-Werte in die Gleichung [mm]y^{2}=2x^{2}-9x+5[/mm] einsetzten, damit Du die entspechenden y Werte bekommst.
>
> DAnke!!!!
Gruß
MathePower
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danke, also ich hab da jetzt für x1 : y = +/- 4.67
und für x2 : y = +/- 0. 72
setzt ich diese werte nun in die ursprüngliche funktion f ein?
danke!!
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Hallo wuzikrapuzi,
> danke, also ich hab da jetzt für x1 : y = +/- 4.67
> und für x2 : y = +/- 0. 72
Nach meiner Rechnung stimmen diese Werte für y nicht.
>
> setzt ich diese werte nun in die ursprüngliche funktion f
> ein?
>
> danke!!
Gruß
MathePower
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stimmt. ich hatte mich verrechnet. danke !
hab jetzt die werte +/- 3.24 und +/- 5.64 herausbekommen. hoff ich hab mich nicht schon wieder vertippt!
setze ich nun die werte in die ursprüngliche funktion ein?
danke!!
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Hallo wuzikrapuzi,
> stimmt. ich hatte mich verrechnet. danke !
>
> hab jetzt die werte +/- 3.24 und +/- 5.64 herausbekommen.
> hoff ich hab mich nicht schon wieder vertippt!
Die Werte stimmen.
>
> setze ich nun die werte in die ursprüngliche funktion ein?
Ja, aber bitte exakte Werte.
[mm]x_{1}=\bruch{9-\wurzel{453}}{6} \Rightarrow y_{1,2}=\pm \bruch{\wurzel{127+3*\wurzel{453}}}{\wurzel{6}}[/mm]
[mm]x_{2}=\bruch{9+\wurzel{453}}{6} \Rightarrow y_{3,4}=\pm \bruch{\wurzel{127-3*\wurzel{453}}}{\wurzel{6}}[/mm]
Und was ist mit [mm]y=0[/mm] ?
Das ist ja auch ein Kandidat für ein Extremum.
>
> danke!!
Gruß
MathePower
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