Extrem-und Wendepunkte < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Funktion f(x)= [mm] x^4-4x^2+4
[/mm]
1.)Untersuche den Graphen nach symmetrie und schnittpkte mit der x-Achse
2.)Bestimme Extrem-und Wendepkte.
3.)Ein Graph einer Ganzration.funktion g vom Grad 2 schneidet den Graphen v. f rechwinklig für x=1 und x=-1
Bestimme die schnittpunkte der Graphen. |
Hallo an alle...
Leider benötige ich Hilfe bei meinen "Wochenend-Ha"...zu aufgabe 1. würde da nicht ein Zeichnen des Graphen genügen oder vertue ich mich da?
und zu 2 und 3 benötige ich wirklich Hilfe bzw. Anregungen..
Danke und schönen Sonntag
LG xxx Kitty
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Hi,
a) Was gilt denn bei Symmetrie?
Um die Nullstellen zu ermitteln, würde ich faktorisieren.
b) Was sind die Bedingungen für Extrema/Wendepunkte?
Gruß
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 So 03.09.2006 | | Autor: | PStefan |
Hallo,
> Funktion f(x)= [mm]x^4-4x^2+4[/mm]
>
> 1.)Untersuche den Graphen nach symmetrie und schnittpkte
> mit der x-Achse
ad 1)
bei Symmetrie gilt:
achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse, wenn: f(-x)=f(x)
punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs, wenn: f(-x)=-f(x)
bei deinem Fall: nur gerade Exponenten, daher
achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse
du kannst dies selbstverständlich auch durch einsetzen überprüfen, ist aber nicht nötig, wenn man die o.g. Regel kennt
> 2.)Bestimme Extrem-und Wendepkte.
ad 2)
[mm] f'(x)=4x^{3}-8x
[/mm]
[mm] f''(x)=12x^{2}-8
[/mm]
f'''(x)=24x
f'(x)=0 setzen
kritische Werte in zweite Ableitung einsetzen, dann überprüfen ob Min. oder Max
f''(x)=0 setzen
[mm] f'''(x)\not=0
[/mm]
daher ist das Ergebnis von f''(x)=0 ein Wendepunkt
> 3.)Ein Graph einer Ganzration.funktion g vom Grad 2
> schneidet den Graphen v. f rechwinklig für x=1 und x=-1
> Bestimme die schnittpunkte der Graphen.
diese Aufgabe probierst du jetzt einmal selber, wenn du aber Probleme hast, kannst du dich ruhig nochmals melden
Gruß
Stefan
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Hallöchen!
Erstmal: vielen Dank für die Hilfe!
also ich habe jetzt folgendes herausgefunden:
-der Graph ist Achsensymetrisch
-er hat Nullstellen bei [mm] x1=\wurzel{2} [/mm] und [mm] x2=-\wurzel{2}
[/mm]
-Hochpunkt???...Tiefpunkte bei [mm] T1(\wurzel{2}|0) [/mm] und T2 [mm] (-\wurzel{2}|0)
[/mm]
Die Wendepunkte mpsste ich ja durch f"(x)=0 herausbekommen, aber das ergibt bei mir -/+ 3/234 ----ist das logisch?
zu Aufgabe 3.)
als ansatz dachte ich g(x) [mm] ax^2+bx+c
[/mm]
darauf folgt g(1)=f(1) und g´(1)= 1/ f´(1)....
und g(-1)=f(-1)....
mhm..jetzt fehlt mir doch ncoih g(x) oder? und die schnittepunkte beider graphen...kann mir da jemand helfen und sagen ob meine besherighen "vermutungen" richtig sind?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Mi 06.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Hallöchen!
> Erstmal: vielen Dank für die Hilfe!
> also ich habe jetzt folgendes herausgefunden:
> -der Graph ist Achsensymetrisch
> -er hat Nullstellen bei [mm]x1=\wurzel{2}[/mm] und [mm]x2=-\wurzel{2}[/mm]
Hallo
Korrekt
> -Hochpunkt???...Tiefpunkte bei [mm]T1(\wurzel{2}|0)[/mm] und T2
> [mm](-\wurzel{2}|0)[/mm]
Prüf doch mal anhand der zweiten Ableitung, ob HP oder TP.
> Die Wendepunkte mpsste ich ja durch f"(x)=0
> herausbekommen, aber das ergibt bei mir -/+ 3/234 ----ist
> das logisch?
Wahrscheinlich hast du eine falsche zweite Ableitung: Bei mir ist f''(x) = 12x²-8
Also bekomme ich als mögliche Wendestellen [mm] x_{w_{1;2}} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{\bruch{2}{3}}, [/mm] was wenn man sich den Graphen Anschaut, durchaus realistisch scheint.
Zeichne den Graphen doch mal per ![[]](/images/popup.gif) Funkyplot.
>
> zu Aufgabe 3.)
> als ansatz dachte ich g(x) [mm]ax^2+bx+c[/mm]
> darauf folgt g(1)=f(1) und g´(1)= 1/ f´(1)....
> und g(-1)=f(-1)....
Korrekt
> mhm..jetzt fehlt mir doch ncoih g(x) oder? und die
> schnittepunkte beider graphen...
Für die Schnittpunkte schau dir mal die Bedingungen an, die hast du gegeben.
Für den Graphen musst du die drei Bedingungen von oben in ein Gleichungssystem umwandeln unnd dieses lösen.
Also
[mm] \vmat{ a + b + c = 1 \\ a - b +c = 1 \\ 2a + b = \underbrace{\bruch{1}{4}_{=\bruch{1}{f'(1)}}}}
[/mm]
> kann mir da jemand helfen
> und sagen ob meine besherighen "vermutungen" richtig sind?
Hilft das weiter?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Mi 06.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo.
Würde es bei 3. nicht reicht f(1) und f(-1) anzugeben? Denn es gibt ja nur einen Punkt bei dem f(x) 1 bzw. -1 ist... ganz egal wie der andere Graf aussieht.
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mhm...vielen vielen Dank..
aber erhrlich gesagt verstehe ich das mit den schnittpunkten einfach nicht...tut mir leid aber irgendwie geht das nisht...kann mir vllt. jamenda helfen z.b eins vorrechnen oder so? das wäre mehr als nett!"
danke..
Lg Kitty
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Hi,
Du kannst doch so ausklammern:
[mm] x^2(x^2-4)+4=0
[/mm]
Nun musst du nur zusehen, dass [mm] x^2(x^2-4)=-4 [/mm] gilt.
Gruß
Alex
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Hallo ich bins nochmal...ich glaube ich werde an dieser Aufgbabe verzeifeln*wein..+ komm mir schon völlig doof vor...
also ich habe jetzt für g(x)= [mm] 1/8x^2+6/8...
[/mm]
allerdings muss ich ja noch die schnittpunkte berechen...das sollen angeblich 4 (!) stück sein ...wurde mir jedenfalls erzählt...o mann und ih weiss ncoh ncihtmal einen...geschweigedenn wie man die berechnet....
eure demotivierte Kitty
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mi 06.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal.
Du hast jetzt die Funktion g(x) = [mm] \bruch{1}{8} [/mm] x² + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] und die Originalfunktion f(x) = [mm] x^{4} [/mm] - 4x² + 4
Du suchst die Schnittpunkte, also die Stellen, an denen g(x) = f(x).
Also:
[mm] x^{4} [/mm] - 4x² + 4 = [mm] \bruch{1}{8} [/mm] x² + [mm] \bruch{\red{7}}{\red{8}}
[/mm]
[mm] \gdw x^{4} [/mm] - [mm] \bruch{33}{8}x² [/mm] + [mm] \bruch{\red{25}}{\red{8}}= [/mm] 0
Wenn du jetzt x² = z substituierst, erhältst du
z² - [mm] \bruch{33}{8}z [/mm] + [mm] \bruch{\red{25}}{\red{8}}= [/mm] 0, was du mit der p-q-Formel lösen kannst.
Du erhältst nun zwei Lösungen für z, nennen wir sie [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2}
[/mm]
Jetzt kannst du das ganze Rücksubstituieren und erhältst
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{z_{1}}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] -\wurzel{z_{1}}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \wurzel{z_{2}}
[/mm]
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] -\wurzel{z_{2}}
[/mm]
Das sind die x-Koordinaten der vier Schnittpunkte.
Für die y-Koordinaten musst du jetzt noch [mm] f(x_{1})....f(x_{4}) [/mm] berechnen.
Jetzt klarer?
Marius
EDIT: Das ROTE war ein Rechenfehler, Dank an Sixpack, der hat ihn gefunden. Hilft das Bild weiter, was ich noch angehängt habe.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Do 07.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Ich habe meinen Artikel noch korrigiert, Sixpack hat einen Fehler gefunden, den ich korrigiert habe.
Marius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Mi 06.09.2006 | | Autor: | Sixpack |
Also mit der Lösung g(x)= [mm] 1/8*x^2+3/4 [/mm] kommt der schnitt der beiden graphen an der Stelle x=1 und x=-1 nach meiner Rechnung nicht mehr hin.
Aber mit [mm] g(x)=1/8*x^2+7/8 [/mm] passt es??!!?!?!?!?!?!
Aber was sind schon 1/8 .... 
Ich habe zunächst die Steigung von f(x) bei x=1 und x=-1
und habe einmal -4 und 4 herausbekommen. d.h. die Steigung von g(x) in den Punkten x=1 und x=-1 muss 1/4 bzw -1/4 sein...
-> g'(1)=1/4 und g'(-1)=-1/4.
dann erhalte ich für g(x) zunächst dies hier :
[mm] g(x)=1/8x^2+c [/mm] (da b=0).
aus g(1)=f(1) erhält man 1/8+c = 1-4+1 also c= 7/8
oder bin ich auf dem holzweg gelaufen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Do 07.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also mit der Lösung g(x)= [mm]1/8*x^2+3/4[/mm] kommt der schnitt der
> beiden graphen an der Stelle x=1 und x=-1 nach meiner
> Rechnung nicht mehr hin.
> Aber mit [mm]g(x)=1/8*x^2+7/8[/mm] passt es??!!?!?!?!?!?!
>
> Aber was sind schon 1/8 ....
>
> Ich habe zunächst die Steigung von f(x) bei x=1 und x=-1
> und habe einmal -4 und 4 herausbekommen. d.h. die Steigung
> von g(x) in den Punkten x=1 und x=-1 muss 1/4 bzw -1/4
> sein...
> -> g'(1)=1/4 und g'(-1)=-1/4.
Korrekt
>
> dann erhalte ich für g(x) zunächst dies hier :
> [mm]g(x)=1/8x^2+c[/mm] (da b=0).
>
> aus g(1)=f(1) erhält man 1/8+c = 1-4+1 also c= 7/8
>
> oder bin ich auf dem holzweg gelaufen???
>
Nein, ich denke, dass passt jetzt. Auch das Bild "unterstützt" die Lösung.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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