Exponentielle Darstellung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Sa 18.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen jeweils in ihrer exponentiellen Darstellung an und zeichnen Sie sie n die komplexe Ebene ein.
[mm] (\wurzel{3}+i^3)*(i-1) [/mm] |
Moin,
Bräuchte etwas Hilfe bei dieser Aufgabe. Zuerst etwas rechnen:
[mm] (\wurzel{3}+i^3)*(i-1) =\underbrace{(\wurzel{3}+1)}_{=x}+i*\underbrace{(\wurzel{3}-1)}_{=y}
[/mm]
[mm] r=\wurzel{(\wurzel{3}+1)^2+(\wurzel{3}-1)^2}= 2*\wurzel{2}
[/mm]
Die exponentielle Darstellung ist [mm] z=r*e^{i*\alpha}=r*(\underbrace{cos\alpha}_{=x/r} [/mm] + [mm] i*\underbrace{sin\alpha}_{=y/r}) [/mm] , nun fällt mir das sehr schwer herauzufinden was der Winkel [mm] \alpha [/mm] ist. Gehe an die Sache immer so ran :
[mm] cos\alpha=\bruch{x}{r}=\bruch{(\wurzel{3}+1)}{2*\wurzel{2}}, [/mm] und das lässt sich vereinfachen in [mm] cos\alpha=\bruch{\wurzel{6}-\wurzel{2}}{4}. [/mm] Wir dürfen in der Klausur keinen Taschenrechner benutzen, gibt es hier vielleicht eine Methode, mit der man herauszufinden kann, was [mm] \alpha [/mm] ist(ohne Taschenrechner)?
Gruß
|
|
| |
|
Hallo,
> Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen jeweils in ihrer
> exponentiellen Darstellung an und zeichnen Sie sie n die
> komplexe Ebene ein.
>
> [mm](\wurzel{3}+i^3)*(i-1)[/mm]
> Moin,
>
> Bräuchte etwas Hilfe bei dieser Aufgabe. Zuerst etwas
> rechnen:
>
> [mm](\wurzel{3}+i^3)*(i-1) =\underbrace{(\wurzel{3}+1)}_{=x}+i*\underbrace{(\wurzel{3}-1)}_{=y}[/mm]
>
Ich glaube, du hast dich an dieser Stelle etwas verrechnet. Ich bekomme
[mm] (\wurzel{3}+i^3)*(i-1)=1-\wurzel{3}+(1+\wurzel{3})*i
[/mm]
heraus.
>
> [mm]r=\wurzel{(\wurzel{3}+1)^2+(\wurzel{3}-1)^2}= 2*\wurzel{2}[/mm]
>
> Die exponentielle Darstellung ist
> [mm]z=r*e^{i*\alpha}=r*(\underbrace{cos\alpha}_{=x/r}[/mm] +
> [mm]i*\underbrace{sin\alpha}_{=y/r})[/mm] , nun fällt mir das sehr
> schwer herauzufinden was der Winkel [mm]\alpha[/mm] ist. Gehe an die
> Sache immer so ran :
>
> [mm]cos\alpha=\bruch{x}{r}=\bruch{(\wurzel{3}+1)}{2*\wurzel{2}},[/mm]
> und das lässt sich vereinfachen in
> [mm]cos\alpha=\bruch{\wurzel{6}-\wurzel{2}}{4}.[/mm]
Das kann so auch nicht sein, der Kosinus sollte in diesem Fall rational sein, so viel als Tipp.
> Wir dürfen in
> der Klausur keinen Taschenrechner benutzen, gibt es hier
> vielleicht eine Methode, mit der man herauszufinden kann,
> was [mm]\alpha[/mm] ist(ohne Taschenrechner)?
Ich würde das ganze völlig anders angehen. Das Argument eines Produktes ist bekanntlich die Summe der beiden einzelnen Argumente. Und die sind ja hier elementar (-> besondere Werte der Tangens-Funktion). So erhältst du das Argument, den Betrag kann man auch einfacher berechnen, indem man die beiden einzelnen Beträge multipliziert.
Und wenn du sagst, es soll ohne Taschenrechner bearbeitet werden: dann bin ich mir recht sicher, dass genau diese Vorgehensweise auch vorgesehen ist.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Sa 18.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Ja, da ist was schief gelaufen.
Danke für deine Mühe.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Mi 22.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Hallo,
noch eine kleine Frage: was meinst du mit den beiden einzelnen Beträgen? Finde die nicht .
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
es sind
[mm] \left|\wurzel{3}+i^3\right|=\left|\wurzel{3}-i\right|=\wurzel{3+1}=2
[/mm]
sowie
[mm] |i-1|=\wurzel{2}
[/mm]
Insofern kann man sagen:
> noch eine kleine Frage: was meinst du mit den beiden
> einzelnen Beträgen? Finde die nicht .
Du sollst auch nicht danach suchen, sondern sie ausrechnen. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mi 22.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Hi,
Achso, die sind so zu betrachten. Hab ich leider nicht erkannt. Nun muss man nur noch die beiden Beträge Multiplizieren, also [mm] arg(z)=2*\wurzel{2} [/mm] oder nicht? Die Lösung lautet [mm] z=2*\wurzel{2}*e^{i*\bruch{19*\pi}{12}}, [/mm] auf den Winkel [mm] \phi [/mm] komme ich irgendwie nicht.
Hab dich wahrscheinlich missverstanden.
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Achso, die sind so zu betrachten. Hab ich leider nicht
> erkannt. Nun muss man nur noch die beiden Beträge
> Multiplizieren, also [mm]arg(z)=2*\wurzel{2}[/mm] oder nicht?
Nein:
[mm] |z|=2*\wurzel{2}
[/mm]
> Die
> Lösung lautet [mm]z=2*\wurzel{2}*e^{i*\bruch{19*\pi}{12}},[/mm] auf
> den Winkel [mm]\phi[/mm] komme ich irgendwie nicht.
> Hab dich wahrscheinlich missverstanden.
Es ist
[mm] -\bruch{\pi}{6}+\bruch{3}{4}\pi=i*\bruch{7\pi}{12}
[/mm]
von daher halte ich obige Lösung für falsch, oder du hast die Aufgabe nicht richtig angegeben.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Mi 22.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hi,
> Es ist
>
> [mm]-\bruch{\pi}{6}+\bruch{3}{4}\pi=i*\bruch{7\pi}{6}[/mm]
[mm] i*\bruch{7\pi}{12} [/mm]
> von daher halte ich obige Lösung für falsch, oder du hast
> die Aufgabe nicht richtig angegeben.
>
> Gruß, Diophant
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Mi 22.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Hallo,
Die Aufgabe wurde 1zu1 abgeschrieben und die Lösung ist richtig(vom Prof. bestätigt). Komme auch nicht auf das Ergebnis mit [mm] \phi=\bruch{19*\pi}{12} [/mm] und er rückt auch nicht den Lösungsweg raus :D
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Mi 22.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Hallo,
>
> Die Aufgabe wurde 1zu1 abgeschrieben und die Lösung ist
> richtig(vom Prof. bestätigt). Komme auch nicht auf das
> Ergebnis mit [mm]\phi=\bruch{19*\pi}{12}[/mm] und er rückt auch
> nicht den Lösungsweg raus :D
Ich würde das an deiner Stelle nochmal überprüfen. Ein einziges Minuszeichen, und die Lösung von deinem Prof stimmt:
[mm] -(\wurzel{3}+i^3)*(i-1)=(\wurzel{3}+i^3)*(1-i)=2*\wurzel{2}*exp\left(i*\bruch{19*\pi}{12}\right)
[/mm]
Zwar können sich auch Professoeren mal irren, aber in diesem Fall liegt der Irrtum mit großer Wahrscheinlichkeit an diesem Vorzeichenwechsel, und der könnte doch auch dir passiert sein, oder nicht? 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mi 22.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
oh MIST... nehme alles zurück, bin heute irgendwie nicht bei der Sache.
Ja, da ist wirklich ein Fehler in der Aufgabenstellung.
[mm] (\wurzel{3}+i^3)(1-i) [/mm] so muss die Aufgabe lauten. Keine Ahnung, wie ich das die ganze Zeit übersehen konnte. Nochmal zur Sicherheit:
http://s7.directupload.net/images/140122/g2uxkixt.jpg
Trotzdem ist der Rechenweg für mich noch im dunkeln, wie man auf [mm] \phi [/mm] jetzt genau kommt.
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
> oh MIST... nehme alles zurück, bin heute irgendwie nicht
> bei der Sache.
>
> Ja, da ist wirklich ein Fehler in der Aufgabenstellung.
>
> [mm](\wurzel{3}+i^3)(1-i)[/mm] so muss die Aufgabe lauten. Keine
> Ahnung, wie ich das die ganze Zeit übersehen konnte.
> Nochmal zur Sicherheit:
> http://s7.directupload.net/images/140122/g2uxkixt.jpg
Ja, meine Kristallkugel funktioniert endlich wieder ordnungsgemäß, daher war mir das schon bekannt.
> Trotzdem ist der Rechenweg für mich noch im dunkeln,
Das ist - ganz ehrlich gemeint - zwar poetisch ausgedrückt aber mathematisch gesehen eine völlig sinnfreie Problembeschreibung.
Kläre mal für dich folgende Fragen:
- Wie ist das Argument einer komplexen Zahl definiert, wie der Betrag (das scheint ja jetzt geklärt zu sein)?
- Ist dir die von Moivre-Formel für komplexe Zahlen samt Herleitung vertraut oder das, was von manchen praktisch orientierten Funktionentheoretikern gern als Multiplikationsregel bezeichnet wird (das wurde hier ja auch schon alles angegeben)?
Falls du beide Fragen mit 'ja' beantworten kannst, dann verstehe ich dein Problem überhaupt nicht.
> wie
> man auf [mm]\phi[/mm] jetzt genau kommt.
Ich habe für die beiden einzelnen Faktoren jeweils Betrag und Argument berechnet, die Beträge multipliziert und die Argumente addiert. Dies entspricht ja genau der Formel von Moivre, wenn man mal über den Tellerrand des reinen Potenzierens mit natürlichen Exponenten hinausschaut (was man darf, da die Moivre-Formel soweit ich weiß aus der Eulerschen Darstellung mit Hilfe der Potenzgesetze hergeleitet wird).
PS: Wenn du dich in diese Materie mal von einer ganz anderen Seite her nähern willst, so dass du ein grundlegendes Verständnis dieser Dinge erlangst, dan würde ich dir das Buch ![[]](/images/popup.gif) Anschauliche Funktionentheorie von T. Needham empfehlen. Schau mal, ob du das in irgendeiner Bibliothek leihweise findest und arbeite vorerst die beiden ersten Kapitel durch. Damit hättest du schon sehr viel Grundverständnis für die komplexen Zahlen als Background, so dass solche Aufgaben oder auch neuer Stoff viel verständlicher wären.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Mi 22.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Ist egal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:19 Do 23.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo DragonNru,
> Ist egal
Nein: es ist eine ziemlich unverfrorene Frechheit deinerseits. Erst beschäftigst du uns mit deinen schlecht vorbereiteten Fragen, arbeitest die Antworten nicht in der gebotenen Gründlichkeit durch. Dann stells du die Frage anderswo ein und verleihst durch obige Worte deiner Geringschätzung der hier geleisteten Hilfestellung Ausdruck. Für mich ist das nicht egal, und in Ordnung ist es auch nicht!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Do 23.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Morgen,
Was zwei Worte alles anrichten können.
Nun gut, klären wir das mal auf:
Die schlecht vorbereiteten Fragen kommen daher, weil das Thema neu ist und nicht verstanden. Könnte ich die richtig guten Fragen stellen, würde ich es wahrscheinlich gar nicht machen, denn das Verständnis wäre dann da und man würde sich das irgendwie selber beibringen. Die Antworten von euch sind in keinster weise schlecht,ganz im gegenteil, hilfreich, lasst mich oft die Dinge in einem anderen Licht sehen,aber auch teilweise zu hoch. Ihr seid sicherlich anderes gewohnt, aber bin nun mal kein MatheAss.
Und zuguter letzt das "anderswo". Die Worte "ist egal" sollten nicht bedeuteten:"Hab die Lösung von woanders her, das hier kann gelöscht werden", sondern viel mehr:"Bin am Ende, das Thema macht mich fertig, kapiere es einfach nicht, bestehe die Klausur vielleicht auch ohne komplx. Zahlen". Die Antworten, im anderen Forum, hab ich eben, durch deine Mitteilung, erst durchgelesen.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Do 23.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich persönlich probiere meine Antworten auf das Niveau des anderen zu halten.
Ich bin selber nicht so weit in der Mathematik,
aber ich probiere mein Bestes.
Man lernt jeden Tag mehr dazu und wenn man einen Fehler macht,
dann wird man in der Regel sofort verbessert.
Fehler machen hilft!
Aus Fehlern lernt man.
Bei dir würde mir sofort folgenden auffallen:
Math. Background: Klasse 12 Berufsschule · Studienfach: WIW E-Technik
Es ist wirklich sehr gut, dass du das eingegeben hast,
denn so kann man das Niveau besser einschätzen!
Ich glaube, dass du keine direkten Antworten bekommen hast,
da du keine direkten Fragen gestellt hast
oder man deinen Background nicht eingeschätzt hat.
Aussagen wie "ist egal" sind auch nicht so Knorke.
Zu viel drumherum reden hilft in der Mathematik nicht.
Etwas glauben oder denken bringt nichts.
Wenn du eine Frage hast, dann empfehle ich dir folgendes:
1. Probiere die Aussage zu verstehen.
2. Falls nötig: Schlag Definitionen nach!
3. Lies den Wikipedia-Artikel deines Problems durch.
4. Achte darauf, dass du keine Schreibfehler beim Eintippen machst.
5. Direkte Fragen. Wo liegt das Problem genau?
6. Gib dir Mühe bei der Darstellung deiner Frage.
Das wars von mir
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
Moin moin,
> Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen jeweils in ihrer
> exponentiellen Darstellung an und zeichnen Sie sie n die
> komplexe Ebene ein.
>
> [mm](\wurzel{3}+i^3)*(i-1)[/mm]
Du kannst auch zwei Polarformen erstellen, und diese dann multiplizieren. Manchmal wird es dadurch einfacher.
[mm] (\wurzel{3}+i^3)*(i-1)=(\wurzel{3}-i)*(i-1)
[/mm]
Bei dem zweiten Faktor kann man ja den Winkel (Argument) sofort ablesen, wenn man sich das ganze geometrisch einmal verdeutlicht. Nur bei dem ersten Faktor müsste man ein wenig rechnen (und sich natürlich mit den Werten von trigonometrischen Funktionen ein wenig auskennen).
Jedenfalls erhält man so:
[mm] r_1e^{\phi*i}*r_2e^{\vartheta*i}=r_1r_2e^{(\phi+\vartheta)i}
[/mm]
Manchmal wird es so einfacher, weil man die Werte für die Argumente weiß.
> Moin,
>
> Bräuchte etwas Hilfe bei dieser Aufgabe. Zuerst etwas
> rechnen:
>
> [mm](\wurzel{3}+i^3)*(i-1) =\underbrace{(\wurzel{3}+1)}_{=x}+i*\underbrace{(\wurzel{3}-1)}_{=y}[/mm]
>
>
> [mm]r=\wurzel{(\wurzel{3}+1)^2+(\wurzel{3}-1)^2}= 2*\wurzel{2}[/mm]
>
> Die exponentielle Darstellung ist
> [mm]z=r*e^{i*\alpha}=r*(\underbrace{cos\alpha}_{=x/r}[/mm] +
> [mm]i*\underbrace{sin\alpha}_{=y/r})[/mm] , nun fällt mir das sehr
> schwer herauzufinden was der Winkel [mm]\alpha[/mm] ist. Gehe an die
> Sache immer so ran :
>
> [mm]cos\alpha=\bruch{x}{r}=\bruch{(\wurzel{3}+1)}{2*\wurzel{2}},[/mm]
> und das lässt sich vereinfachen in
> [mm]cos\alpha=\bruch{\wurzel{6}-\wurzel{2}}{4}.[/mm] Wir dürfen in
> der Klausur keinen Taschenrechner benutzen, gibt es hier
> vielleicht eine Methode, mit der man herauszufinden kann,
> was [mm]\alpha[/mm] ist(ohne Taschenrechner)?
>
> Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Mi 22.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Hi,
Ja, das macht die Sache wirklich etwas leichter. Nun habe ich ein ganz neuen Blick auf die Aufgabe, danke. Auf die Lösung komme ich zwar immer noch nicht(kenne die Werte der trigonometrischen Funktionen nicht), aber es ist verständlicher geworden.
Gruß
|
|
|
|
