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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 So 26.02.2006 | | Autor: | s0ck3 |
Hallo.
Die Aufgabe: Die Haltbarkeit eines Anstrichs (in Jahren) wird als exponentialverteilt angenommen. Die durchschnittliche Haltbarkeit bträgt 2 Jahre.
a) Wie viel Prozent der Latten bleibt zwischen ein und drei Jahren wetterfest?
-> [mm] \mu [/mm] = 1/ [mm] \lambda [/mm] = 1/2
x sei die Anzahl der Jahre in denen der Anstrich haltbar ist
Also Dichtefunktion: f(x) =1/2 [mm] e^{-1/2*x}
[/mm]
P(1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3) = P(x [mm] \le [/mm] 3) - P (x [mm] \le [/mm] 1)
= [mm] \integral_{0}^{3}{1/2 e^{-1/2*x}} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}{ 1/2 e^{-1/2*x}}
[/mm]
=[-e^-1/2*x] in den Grenzen 0 bis 3 - [-e^-1/2*x] in den Grenzen 0 bis 1
= (-e^-3/2 + 1) - (-e^-1/2 + 1)
=-0,31+1+0,6065-1 = 0,3834
b)Bei wie viel Prozent weicht die Haltbarkeit um weniger als ein halbes Jahr vom Erwartungswer ab?
P(1,5 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2,5) = [mm] \integral_{1,5}^{2,5}{1/2 e^{-1/2*x}} [/mm]
= [-e^-1/2*x] in den Grenzen 1,5 bis 2,5 = -0,2865+0,4724 = 0,1859
c)Welche Mindesthaltbarkeitsdauer kann für den Anstrich bei 90% aller Latten garantiert werden?
[mm] \mu [/mm] = 0,5 [mm] \delta [/mm] = [mm] \wurzel{1/2²} [/mm] = 0,5
Gesucht K [mm] \in \IN
[/mm]
P(x [mm] \ge [/mm] K) = 0,9
1-P(x [mm] \le [/mm] k-1) = 0,9
P(x [mm] \le [/mm] k-1) = 0,1
"Groß Phi" [(k-1-0,5) :0,5 = 0,1
(k-1,5):0,5 = -1,281
k=0,8595
so bis dahin
und
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 100 Latten nach 3 Jahren noch mindestens 30 Stück wetterfest?
hier fehlt mir leider jeglicher ansatz. Habt ihr vllt einen Tipp ?
Schon mal Vielen Dank und liebe Grüße
Philip
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Mo 27.02.2006 | | Autor: | s0ck3 |
Kann mir hier echt keiner helfen. Das ist ne Aufgabe wie sie im Vorbaitur drankommen wird und wir haben in der schule keine zeit mehr sie zu besprechen, also waer das schon wirklich super wichitg wenn jem mal drüberscheun könnte..
ich habe bei d) versucht:
P(x [mm] \ge [/mm] 3) [mm] \ge [/mm] 0,3
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 - P(x [mm] \le [/mm] 3) = 0,3
[mm] \gdw \Phi [/mm] [(3-0,5):0,5] = 0,7
aber da kommt doch nur murks raus?
Danke schonmal Philip
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Mo 27.02.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Philip,
während du die Mitteilung geschrieben hast, hab ich doch schon deine Frage beantwortet!
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]") Sei bitte nicht ganz so ungeduldig, du kannst nicht nach nicht einmal einem Tag eine Antwort erwarten! Alle Antwortenden machen das völlig freiwillig und haben nicht immmer Zeit (und Lust) dazu!
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Mo 27.02.2006 | | Autor: | s0ck3 |
Hey sorry, ich dachte meine Frage verfällt nach einem Tag. Aber besten Dank werd mir das jetzt mal angucken.
Danach muss ich ncoh ein wenig attische Demokratie lernen :P
Schönen Tag noch und danke Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Mo 27.02.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Philip,
du kannst deinen Fälligkeitszeitraum festlegen, wenn du die Frage stellst. Wenn es dir also reicht, z.B. innerhalt einer Woche eine Antwort zu bekommen, dann kannst du das entsprechend einstellen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße
Astrid
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mo 27.02.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Philip,
kurz ein paar Tipps: 
> P(1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 3) = P(x [mm]\le[/mm] 3) - P (x [mm]\le[/mm] 1)
>
> = [mm]\integral_{0}^{3}{1/2 e^{-1/2*x}}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{1}{ 1/2 e^{-1/2*x}}[/mm]
>
> =[-e^-1/2*x] in den Grenzen 0 bis 3 - [-e^-1/2*x] in den
> Grenzen 0 bis 1
> = (-e^-3/2 + 1) - (-e^-1/2 + 1)
> =-0,31+1+0,6065-1 = 0,3834
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b)Bei wie viel Prozent weicht die Haltbarkeit um weniger
> als ein halbes Jahr vom Erwartungswer ab?
>
> P(1,5 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2,5) = [mm]\integral_{1,5}^{2,5}{1/2 e^{-1/2*x}}[/mm]
> = [-e^-1/2*x] in den Grenzen 1,5 bis 2,5 = -0,2865+0,4724 =
> 0,1859
>
> c)Welche Mindesthaltbarkeitsdauer kann für den Anstrich bei
> 90% aller Latten garantiert werden?
>
> [mm]\mu[/mm] = 0,5 [mm]\delta[/mm] = [mm]\wurzel{1/2²}[/mm] = 0,5
>
> Gesucht K [mm]\in \IN[/mm]
>
> P(x [mm]\ge[/mm] K) = 0,9
> 1-P(x [mm]\le[/mm] k-1) = 0,9
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es gibt ja nicht nur ganzzahlige Jahre, die bei der Exponentialverteilung vorkommen können, sondern jede beliebige positive Zahl!
Deshalb:
[mm]P(X\geq k)=0,9[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]P(X\leq k)=0,1[/mm]
Nun ist $X$ aber exponentialverteilt und nicht normalverteilt, daher:
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]\int_0^k \bruch{1}{2}e^{-\bruch{1}{2}t} \, dt=0,1[/mm]
> d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 100 Latten nach
> 3 Jahren noch mindestens 30 Stück wetterfest?
Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Latte mindestens 3 Jahre hält? Die kannst du berechnen:
[mm]P(X\geq3)=1-\int_0^3 \bruch{1}{2}e^{-\bruch{1}{2}t} \, dt[/mm]
und nennst sie [mm]p[/mm].
Nun ist doch die Anzahl der Latten, die nach 3 Jahren noch intakt sind, binomialverteilt mit Parametern [mm]n=100[/mm] und [mm]p[/mm]!
Viele Grüße
Astrid
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