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| Aufgabe | a) Zeigen sie, dass die Exponentialreihe konvergiert und zwar mit hilfe des Quotientenkriteriums? (warum kann man das wurzelkriterium nicht anwenden?)
b) Beweisen Sie mit Hilfe der Funktionalgleichung von e, wie so e keine Nullstelle hat. |
Hallo,
Ich bin mir bei den antworten nicht ganz sicher. Wäre froh, wenn jemand mir helfen könnte:
a)
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}
[/mm]
So, wenn ich das QK anwende steht komme ich auf folgendes:
[mm] \bruch{x^{n+1}n!}{(n+1)! x^n}=\bruch{|x|}{n+1}\le \bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \bruch{1}{2} [/mm] liegt ja zwischen 0 und 1
Daraus folgt die Exponentialreihe konvergiert.
Wieso funktioniert das Wurzelkriterium nicht? (Okay... sollte eigentlich heißen, warum kann man es nicht anwenden...)
Meine Vermutung:
[mm] \wurzel[n]{\bruch{x^n}{n!}}=\bruch{x}{\wurzel[n]{n!}}
[/mm]
und [mm] {\wurzel[n]{n!}} [/mm] konvergiert gegen 1, wenn n gegen unendlich läuft
Kommen bei x denn Betragstriche hin?
So, nun ist [mm] \bruch{x}{\wurzel[n]{n!}}=x [/mm] ja nicht kleiner 1 --> Wurzelkriterium nicht anwendbar
War das jetzt alles richtig?
b) die funktionalgleichung lautet:
[mm] e^{x+y}=exp(x)*exp(y)
[/mm]
Weiß jemand einen Ansatz für diese Teilaufgabe??
butterfly
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 14:21 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
mit der Exponentialreihe ist nicht die Taylorreihe gemeint, denn die konvergiert gegen [mm] e^x! [/mm] Du sollst zeigen, dass [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] gegen e konvergiert. Da reicht das QK nicht aus, das zeigt nur dass eine Konvergenz möglich ist, nämlich wenn das Verhältnis kleiner 1 ist (die Folge selbst konvergiert dann gegen null, die Summe möglicherweise gegen einen endlichen Wert).
zu b: Da musste man nur annehmen e hätte an der Stelle x eine Nullstelle, würde für [mm] \forall y\in\IR [/mm] gelten: [mm] e^{x+y}=e^x*e^y, [/mm] sprich [mm] e^y=0e^y, [/mm] daher wäre die Exponentielfunktion die Nullfunktion!
lg
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Hallo,
vielen dank für deinen post!!!!
>
> mit der Exponentialreihe ist nicht die Taylorreihe gemeint,
> denn die konvergiert gegen [mm]e^x![/mm] Du sollst zeigen, dass
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] gegen e konvergiert. Da reicht das QK
> nicht aus, das zeigt nur dass eine Konvergenz möglich ist,
> nämlich wenn das Verhältnis kleiner 1 ist (die Folge
> selbst konvergiert dann gegen null, die Summe
> möglicherweise gegen einen endlichen Wert).
>
ja, ich hab mir das noch mal angeschaut und da stand, man soll zeigen, warum die exponentialreihe konvergiert. Hab das mit dem quotientenkriterium auch schon raus, werd gleich mal die vorigen postings korrigieren...
Hab das auch was wegen dem Wurzelkriterium verändert...
> zu b: Da musste man nur annehmen e hätte an der Stelle x
> eine Nullstelle, würde für [mm]\forall y\in\IR[/mm] gelten:
> [mm]e^{x+y}=e^x*e^y,[/mm] sprich [mm]e^y=0e^y,[/mm] daher wäre die
> Exponentielfunktion die Nullfunktion!
ah stimmt!!! vielen dank!
>
> lg
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:42 Sa 21.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Niladhoc
nein, [mm] (1+1/n)^n [/mm] ist NICHT die Exponentialreihe. es ist auch keine Reihe.
es muss schon die Konv. der exponentialreihe gezeigt werden.
Gruss leduart
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Hallo butterfly,
bist du sicher mit der Aufgabenstellung?
Denn wenn das Quotientenkriterium zum Erfolg führt, so auch IMMER das Wurzelkriterium. Die Umkehrung gilt nicht.
D.h. einen Fall, wo das Quotientenkriterium gilt, das Wurzelkriterium aber nicht, gibt es nicht.
MFG,
Gono.
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ja stimmt, das hast du recht....
dann ist die frage wohl, warum ist das wurzelkriterium nicht anwendbar....
das heißt mein beweis oben ist falsch... warum auch immer....aber warum ist das wurzelkriterium nicht anwendbar?
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> ja stimmt, das hast du recht....
>
> dann ist die frage wohl, warum ist das wurzelkriterium
> nicht anwendbar....
> das heißt mein beweis oben ist falsch... warum auch
> immer....aber warum ist das wurzelkriterium nicht
> anwendbar?
Naja, das Wurzelkriterium ist IMMER anwendbar, darum geht es ja gerade.
Ob der Wert nachher berechenbar ist, ist eine andere Sache, aber anwendbar ist es immer.
Desweiteren seh ich in deinem Quotientenkriterium keinen Fehler, nur in deinem Wurzelkriterium, denn
[mm] \sqrt[n]{n!} [/mm] geht gegen unendlich.
MFG,
Gono.
MFG,
Gono.
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> > ja stimmt, das hast du recht....
> >
> > dann ist die frage wohl, warum ist das wurzelkriterium
> > nicht anwendbar....
> > das heißt mein beweis oben ist falsch... warum auch
> > immer....aber warum ist das wurzelkriterium nicht
> > anwendbar?
>
> Naja, das Wurzelkriterium ist IMMER anwendbar, darum geht
> es ja gerade.
> Ob der Wert nachher berechenbar ist, ist eine andere
> Sache, aber anwendbar ist es immer.
> Desweiteren seh ich in deinem Quotientenkriterium keinen
> Fehler, nur in deinem Wurzelkriterium, denn
>
> [mm]\sqrt[n]{n!}[/mm] geht gegen unendlich.
>
Bei wikipedia steht aber, dass es gegen 1 konvergiert
http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29
-->Abschnitt wichtige grenzwerte
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Sa 21.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast wiki falsch gelesen, der GW von [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] ist 1, nicht der von [mm] \wurzel[n]{n!}
[/mm]
Aber dein Beweis für die Konv ist falsch.
du hattest:
$ [mm] \bruch{x^{n+1}n!}{(n+1)! x^n}=\bruch{|x|}{n+1}\le \bruch{1}{2} [/mm] $
du hast einfach |x|<1 gesetzt oder wie kommst du auf [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Habt ihr Konvergenzradius von Reihen gemacht? der ist hier unendlich, d.h. die Reihe konvergiert für ALLE [mm] x\in\IR
[/mm]
sonst musst du sagen dass es zu jedem x ein N gibt, so dass der Quotient <1 ist.
Dass die dir nicht das Wurzelkriterium vorgeschlagen haben liegt daran, dass du dann erst noch den GW von [mm] \wurzel[n]{n!}
[/mm]
hättest bestimmen müssen. Und sie wollten es dir leichter machen!
Gruss leduart
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> Hallo
> Du hast wiki falsch gelesen, der GW von [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] ist
> 1, nicht der von [mm]\wurzel[n]{n!}[/mm]
oh ja stimmt!!!
> Aber dein Beweis für die Konv ist falsch.
> du hattest:
> [mm]\bruch{x^{n+1}n!}{(n+1)! x^n}=\bruch{|x|}{n+1}\le \bruch{1}{2}[/mm]
> du hast einfach |x|<1 gesetzt oder wie kommst du auf
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
hallo leduart,
ups, da hab ich was vergessen, ich habe das in einem buch nachgelesen und da stand noch n [mm] \ge [/mm] |x|2
ja, ich weiß dass die exponentialreihe auf ganz R und C konvergiert, aber mit hilfe des quotientenkriterium kann man doch nur sehen, dass die expo-Reihe konviergert, aber nicht wo, oder?
> Habt ihr Konvergenzradius von Reihen gemacht? der ist hier
> unendlich, d.h. die Reihe konvergiert für ALLE [mm]x\in\IR[/mm]
> sonst musst du sagen dass es zu jedem x ein N gibt, so
> dass der Quotient <1 ist.
> Dass die dir nicht das Wurzelkriterium vorgeschlagen haben
> liegt daran, dass du dann erst noch den GW von
> [mm]\wurzel[n]{n!}[/mm]
> hättest bestimmen müssen. Und sie wollten es dir
> leichter machen!
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Sa 21.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
doch, wenn du nachweist, dass sie für alle x konv. mit dem Quotientenkriterium dann hast du da doch gezeigt, du hast ja für alle x>n/2 es gezeigt, also findest du zu jedem X ein n , nämlich n=[2x+1] ab dem der Quotient <1/2 ist.
Wa heisst den sie konvergiert, aber ich weiss nicht wo? da steht doch x drin, entweder sie konv für ein x oder nicht. und wenn du alle x kennst, wo sie konv. dann weisst du eben wo sie konv.
Gruss leduart
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