Exponentialgleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Löse folgende Gleichung: [mm]2^x = 3^{2*x}[/mm]
1) mit lg (Zehnerlogarithmus)
2) mit ln (logarithmus naturalis). |
Wie soll ich nach meinem Ansatz weiterrechnen?
Ansatz zu 1): [mm]x * lg_2 = 2*x * lg_3[/mm]
Ansatz zu 2): [mm] e^{x * ln_2} [/mm] = [mm] e^{2*x * ln_3} [/mm] | ln
x * [mm] ln_2 [/mm] = 2*x * [mm] ln_3
[/mm]
|
|
| |
|
Hallo,
dein Ansatz ist doch schon nicht falsch. Ich mach es dir mal für lg vor:
[mm]
2^{x}=3^{2x} |lg
\gdw lg(2^{x})=lg(3^{2x})
\gdw x*lg(2)=2x*lg(3)
\gdw 0=2x*lg(3)-x*lg(2)
\gdw 0=x(2*lg(3)-lg(2))
\gdw x=0
[/mm]
Das ausklammerm verhindert, dass du durch das x teilen musst. Hast du noch Fragen dazu? Dann nur zu. Ansonsten versuch dich mal am ln!
Grüße Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Harrynator |
Da war noch so eine Aufgabe:
[mm]2^x = 3^{2*x+1} \gdw lg(2^x) = lg(3^{2*x+1}) \gdw x*lg(2) = (2*x+1)*lg(3) \gdw x*lg(2) = 2*x*lg(3)
+ lg(3) \gdw 0 = 2*x*lg(3) - x*lg(2) + lg(3) \gdw -lg(3) = x*(2*lg(3)-lg(2)) \gdw \bruch{-lg(3)}{(2*lg(3)-lg(2))}[/mm]
Nach deiner Rechnung müsste das dann so aussehen.
Hab das versehentlich als Mitteilung gepostet, schreibt aber bitte eine Antwort.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Löse [mm]5^{x+2} * 3^x = 6[/mm]. |
Ich habe dies jetzt mit dem Zehnerlogarithmus probiert. Aber anscheinend mache ich Umformungsfehler...Hier meine Rechnung.
[mm]lg_{(5^{x+2})} * lg_{(3^x)} = lg_{(6)}[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm](x+2)*lg_{(5)} * x*lg_{(3)} = lg_{(6)}[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]x^2*lg_{(5)}*lg_{(3)} + 2*x*lg_{(5)}*lg_{(3)} = lg_{(6)}[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]lg_{(5)} * lg_{(3)} * (x^2 + 2) = lg_{(6)}[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]x^2 +2 *x - \bruch{lg_{(6)}}{lg_{(5)} * lg_{(3)}} = 0[/mm]
Dann habe ich die pq-Formel angewandt (Vorzeichen und alles beachtet). Aber beide Ergebnisse für x konnten bei der Probe nicht bestätigt werden.
Wo liegt der Fehler?
|
|
|
| |
|
Hi,
dein Fehler besteht in der Annahme, dass Logarithmen einfach multiplikativ aufgelöst werden können. Dies ist aber nicht der Fall, denn es gilt:
[mm]\log_{a}{(b \cdot c)}=\log_{a}{(b)}+\log_{a}{(c)}[/mm].
Ansonsten war dein Ansatz schon ganz gut! Kommst du jetzt weiter? Es gibt übrigens nur eine Lösung, die negativ ist!
Nils
|
|
|
| |
|
Und wie soll ich dieses Theorem nun auf meinen Fall anwenden? Denn multipliziere doch die lg-Therme, keine Addition.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi Mathehelfer,
hab mich gerade verklickt. Mathehelfer arbeitet zur Zeit an einer Antwort also bitte zur Zeit nicht antworten.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
also wie gesagt darfst du nicht die Logarithmen multiplizieren. Konkret heißt das:
[mm]5^{x+2} \cdot 3^{x}=6 \gdw \lg (5^{x+2} \cdot 3^{x})=\lg (6) \gdw \lg (5^{x+2})+ \lg (3^{x})=\lg (6) \gdw (x+2) \lg (5) + x \lg (3)=\lg (6)[/mm]. Kommst du nun weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Harrynator |
ja danke für eure hilfe.
|
|
|
|
